Conjuntos

Características de los conjuntos

En matemáticas, un conjunto es un concepto fundamental, y como tal no admite definición en términos de conceptos más fundamentales. Por ejemplo, a veces se dice que un conjunto es una colección de objetos. Por objeto aquí no debe entenderse sólo las entidades físicas, como las mesas y las sillas, sino todo objeto en el sentido más amplio de la palabra: mesas,sillas, personas, ideas, creencias, lenguajes, letras, otros conjuntos, etc. A los objetos que pertenecen a un conjunto se los llama miembros o elementos del conjunto.
Otras veces se toma a los axiomas de la teoría de conjuntos como proveyendo una definición implícita de lo que es un conjunto: un conjunto es todo aquello que cumple con los axiomas. Sin embargo, esto conlleva el riesgo de que hayamás de una interpretación que haga verdaderos a los axiomas (más de un modelo), y por lo tanto de que haya más de una definición
La cantidad de elementos de un conjunto puede ser finita o infinita. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, que son infinitos, es tanto como el conjunto de los planetas del Sistema Solar, que son ocho.
En un conjunto, el orden de los elementos esirrelevante. Los conjuntos no deben ser confundidos con los agregados. Los primeros son estudiados por la teoría de conjuntos, los segundos por la meteorología. Los primeros son siempre entidades abstractas, los segundos no siempre. Por ejemplo, el conjunto de todas las personas no tiene ningún peso, pero el agregado de todas las personas sí.
Conjunto universo
Un conjunto universal es al que definimoscomo el conjunto de todos los elementos que consideramos. El complementario de un conjunto es entonces el complementario respecto de este conjunto universal. La interpretación de este conjunto universal por parte de Boole le llevó a identificar tal conjunto con el valor “1”.
Conjunto vacío
Un conjunto vacío. En general, la intersección de dos conjuntos sería siempre un conjunto, excepto cuando notienen elementos comunes. Este caso especial se elimina postulando un conjunto vacío, &. La interpretación de este conjunto universal por parte de Boole le llevó a identificar tal conjunto con el valor “0”. Esta asignación de valores 1-0 a los conjuntos E y & tiene importantes consecuencias no sólo en el ámbito de la lógica de sentencia sino también en ámbitos que aquí no tratamos, como la teoríade la probabilidad (diremos sólo que cualquier valor de probabilidad se encuentra entre 0 y 1).
Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
En teoría de conjuntos se define al conjunto delos números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tardesimplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativospueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.
Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo − 3 = 5 − 8, de donde puede asociarse el número − 3 con el par ordenado (5,8) de números naturales. Sin embargo, debido a que (4,7) y una...