Conjuntos

Conjuntos

Un conjunto es simplemente cualquier colección de objetos. Intuitivamente, un conjunto es cualquier colección de objetos que pueda tratarse como una entidad.
A cada objeto de la colección lo llamaremos elemento o miembro del conjunto.

A los conjuntos los designaremos con letras may´usculas y a sus elementos con letras minúsculas. La afirmación “el elemento a pertenece al conjuntoA” se escribe:
a € A

y la negación de este hecho, ¬(a 2€ A), se escribe:

a € A

La definición de un conjunto no debe ser ambigua en el sentido de que pueda decidirse cuando un objeto particular pertenece, o no, a un conjunto.

Tipos de conjuntos

Conjunto finito
Un conjunto [pic]es finito si existe un [pic]tal que [pic]. c
Por la reflexividad de la relación equipotencia, todonúmero natural es finito. Otros conjuntos finitos son [pic]y [pic].
Si [pic]es un conjunto finito no vacío, entonces existe un natural positivo [pic]y una biyección [pic], de modo que si definimos [pic], [pic], podemos decir, ya que [pic]es sobreyectiva, que [pic]. Esto justifica todo conjunto finito [pic]pueda escribirse así: [pic].
Si [pic], diremos que [pic]tiene [pic]elementos. Las siguientes sonpropiedades esenciales de los conjuntos finitos, que intuitivamente las consideramos evidentes, aunque en rigor deben ser demostradas utilizando inducción.

Conjunto infinito

Conjunto infinito no numerable puede verse como el conjunto de todas las sucesiones infinitas (o `listas numerables') de ceros y unos:
C = {(an)n c {0,1} esto es, todas las listas del tipo 000000000..., 00010011000...,110100100...que se pudieran construir. Si este conjunto fuera numerable habría un modo de “etiquetar" cada una de esas listas infinitas. Suponiendo que así fuera, las etiquetamos y las ponemos en orden según la numeración que le hayamos dado. Por ejemplo: 1)000000000...2) 000100110... 3) 111100100...,etc.

Conjunto universal

Es el conjunto de todos los conjuntos. Se consideraba al conjuntouniversal como el conjunto de todas las cosas. Se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Si tratamos conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal sería el que estuviera formado por todas las letras del alfabeto. El complemento del conjunto universo (o referencial) es el conjunto vacío. El conjunto universal se indica con la letra U y algunas veces se indica con laletra S.
Es de notar que la clase universal es un concepto relativo por necesidad, puesto que si se supone que el conjunto universal contiene a todos los conjuntos entonces estará contenido dentro de si mismo y será un conjunto infundado.

En un problema que sólo involucra números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos los números naturales: {1, 2, 3, 4, . . .}. Cualquier otrosubconjunto involucrado, como el conjunto de los números pares {2, 4, 6, . . .}, se toman de este conjunto universal.

Conjunto vacio

Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: Ф o { }
A = Ф o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “

Conjunto disjunto
Son aquellos conjuntos queno tienen elementos en común.
Por ejemplo:
El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A. En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.Conjunto de potencia
Si tenemos un conjunto {a,b,c}:
• Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a,c}, o los demás
• Y {a,b,c} también es un subconjunto de {a,b,c} (sí, es verdad, pero no es un "subconjunto propio")
• Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a,b,c}
De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S={a,b,c} tendrás el conjunto...