Conjuntos1

´Indice general
0.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2. Teor´ıa de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.1. Producto Cartesiano de Conjuntos . . . . . . . . .
0.2.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.3. Relaciones Binarias y Relaciones de Equivalencia .
0.2.4. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . .0.2.5. La Axiom´atica de la Teor´ıa de Conjuntos . . . . . .
0.2.6. Operaciones en Conjuntos y Sistemas Algebraicos .
0.2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3. Sistemas de Peano, Los Enteros Positivos . . . . . . . . . .
0.3.1. Operaciones en un Sistema de Peano . . . . . . . .
0.3.2. Adici´on de Elementos en un Sistema de Peano . . .
0.3.3. Multiplicaci´on en el Conjunto deEnteros Positivos
0.3.4. Exponenciaci´on de Enteros Positivos . . . . . . . .
0.3.5. Orden Parcial en un Sistema de Peano . . . . . . .
0.3.6. Operaciones y Orden en un Sistema de Peano . . .
0.3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4. Los Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.1. Multiplicaci´on en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.2.Orden en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.3. Propiedades Aritm´eticas de los Enteros . . . . . . .
0.4.4. El Algoritmo Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.5. Representaci´on de los Enteros en Base b . . . . . .
0.5. Congruencias m´odulo m y Clases de Residuos . . . . . . .
Z
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0.5.1. Aritm´etica en
mZ
0.5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
0.6. El Campo de los N´
umeros Racionales . . . . . . . . . . .
0.6.1. Orden en el Campo de los N´
umeros Racionales . . .
0.6.2. Campos Ordenados Arquimedianos . . . . . . . . .
0.7. El Sistema de los N´
umeros reales . . . . . . . . . . . . . .
0.7.1. Sucesiones en un Campo Ordenado . . . . . . . . .
0.7.2. Adici´on y Multiplicaci´on en R . . . . . . . . . . . .
0.7.3.Unicidad del Sistema de los N´
umeros Reales . . . .
0.7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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´INDICE GENERAL

.1.

Teorema Chino del Residuo

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0.1. Introducci´
on

0.1.

Introducci´
on

El objetivo central del curso de Algebra IV que se imparte en la Escuela Superior de F´ısica y
Matem´aticas del IPN es elpresentar una construcci´on axiom´atica de los sistemas n´
umericos
que m´as se usan en matem´aticas, a saber: el sistema de los n´
umeros enteros, el campo de los
n´
umeros racionales y el campo de los n´
umeros reales. Dicha construcci´on suele iniciarse con
un sistema de Peano, cuya existencia puede darse por cierta o hacer uso de un axioma de la
teor´ıa de conjuntos para construirlo. Una vez dado unsistema de Peano, la construcci´on de
los reales, a partir de los axiomas de Peano sigue un m´etodo paso a paso, el cual toma una
cantidad considerable de tiempo y esfuerzo. Constru´ıdo el campo de los n´
umeros racionales,
hay dos procedimientos m´as o menos est´andar para construir el campo de los n´
umeros reales;
esto se refiere a los m´etodos que usan sucesiones de Cauchy de racionales y...