Conjuntos2
Páginas: 694 (173260 palabras)
Publicado: 10 de noviembre de 2015
Carlos Ivorra Castillo
TEOR´IA DE CONJUNTOS
Un conjunto es un “muchos” que puede ser pensado
como uno.
Georg Cantor
´Indice General
Introducci´
on
ix
Cap´ıtulo I: El lenguaje de la teor´ıa
1.1 Clases y conjuntos . . . . . . .
1.2 Funciones . . . . . . . . . . . .
1.3 Formaci´
on de conjuntos . . . .
1.4 La teor´ıa de conjuntos NBG∗ .
1.5 Relaciones . . . . . . . . . . . .
1.6 Leyes decomposici´
on interna .
de
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Cap´ıtulo II: Ordinales
2.1 La construcci´
on de los ordinales .
2.2 Inducci´
on y recursi´
on transfinita
2.3 Ordinales y buenos ´ordenes . . .
2.4 Funciones normales . . . . . . . .
2.5 La aritm´etica ordinal . . . . . . .
2.6 Sumas finitas . . . . . . . . . . .
2.7 La forma normal de Cantor . . .
.
.
.
.
.
.
.
conjuntos
. . . . . . .
. . . .. . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
9
15
19
20
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
48
53
56
57
6468
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cap´ıtulo III: La teor´ıa de conjuntos NBG
75
3.1 Relaciones bien fundadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 El axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3 El axioma de elecci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Cap´ıtulo IV: Cardinales
4.1Equipotencia . . . . . . . . . .
4.2 N´
umeros cardinales . . . . . . .
4.3 La aritm´etica cardinal . . . . .
4.4 Conjuntos finitos . . . . . . . .
4.5 Sumas y productos infinitos . .
4.6 Cofinalidad . . . . . . . . . . .
4.7 Aplicaciones sobre el axioma de
v
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
elecci´
on
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
100
107
115
119
124
129
´INDICE GENERAL
vi
Cap´ıtulo V: La exponenciaci´
on cardinal
135
5.1 La exponenciaci´
on en NBG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2 La hip´
otesis de los cardinales singulares . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3Cardinales fuertemente inaccesibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Cap´ıtulo VI: Conjuntos cerrados no acotados y estacionarios
6.1 Conjuntos cerrados no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Conjuntos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Un teorema de Silver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Cardinales de Mahlo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
6.5 Principios combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Puntos fijos de funciones normales . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
153
153
159
163
167
170
184
Cap´ıtulo VII: El sistema num´
erico
7.1 Los n´
umeros enteros . . . . . .
7.2 Los n´
umeros racionales . . . . .
7.3 Cuerpos m´etricos completos . .
7.4 La construcci´
on de R . . . . ..
7.5 Conjuntos ordenados completos
7.6 Sumas infinitas . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
193
193
198
201
215
222
231
Cap´ıtulo VIII: Elementos de topolog´ıa
8.1 Espacios topol´ogicos . . . . . . . .
8.2 Algunos conceptos topol´
ogicos. . .
8.3 Aplicaciones continuas . . . . . . .
8.4 Condiciones de numerabilidad . . .
8.5 Espacios compactos . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
237
238
249
256
263
270
´...
TEOR´IA DE CONJUNTOS
Un conjunto es un “muchos” que puede ser pensado
como uno.
Georg Cantor
´Indice General
Introducci´
on
ix
Cap´ıtulo I: El lenguaje de la teor´ıa
1.1 Clases y conjuntos . . . . . . .
1.2 Funciones . . . . . . . . . . . .
1.3 Formaci´
on de conjuntos . . . .
1.4 La teor´ıa de conjuntos NBG∗ .
1.5 Relaciones . . . . . . . . . . . .
1.6 Leyes decomposici´
on interna .
de
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Cap´ıtulo II: Ordinales
2.1 La construcci´
on de los ordinales .
2.2 Inducci´
on y recursi´
on transfinita
2.3 Ordinales y buenos ´ordenes . . .
2.4 Funciones normales . . . . . . . .
2.5 La aritm´etica ordinal . . . . . . .
2.6 Sumas finitas . . . . . . . . . . .
2.7 La forma normal de Cantor . . .
.
.
.
.
.
.
.
conjuntos
. . . . . . .
. . . .. . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
9
15
19
20
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
48
53
56
57
6468
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cap´ıtulo III: La teor´ıa de conjuntos NBG
75
3.1 Relaciones bien fundadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 El axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3 El axioma de elecci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Cap´ıtulo IV: Cardinales
4.1Equipotencia . . . . . . . . . .
4.2 N´
umeros cardinales . . . . . . .
4.3 La aritm´etica cardinal . . . . .
4.4 Conjuntos finitos . . . . . . . .
4.5 Sumas y productos infinitos . .
4.6 Cofinalidad . . . . . . . . . . .
4.7 Aplicaciones sobre el axioma de
v
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
elecci´
on
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
100
107
115
119
124
129
´INDICE GENERAL
vi
Cap´ıtulo V: La exponenciaci´
on cardinal
135
5.1 La exponenciaci´
on en NBG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2 La hip´
otesis de los cardinales singulares . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3Cardinales fuertemente inaccesibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Cap´ıtulo VI: Conjuntos cerrados no acotados y estacionarios
6.1 Conjuntos cerrados no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Conjuntos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Un teorema de Silver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Cardinales de Mahlo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
6.5 Principios combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Puntos fijos de funciones normales . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
153
153
159
163
167
170
184
Cap´ıtulo VII: El sistema num´
erico
7.1 Los n´
umeros enteros . . . . . .
7.2 Los n´
umeros racionales . . . . .
7.3 Cuerpos m´etricos completos . .
7.4 La construcci´
on de R . . . . ..
7.5 Conjuntos ordenados completos
7.6 Sumas infinitas . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
193
193
198
201
215
222
231
Cap´ıtulo VIII: Elementos de topolog´ıa
8.1 Espacios topol´ogicos . . . . . . . .
8.2 Algunos conceptos topol´
ogicos. . .
8.3 Aplicaciones continuas . . . . . . .
8.4 Condiciones de numerabilidad . . .
8.5 Espacios compactos . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
237
238
249
256
263
270
´...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.