Conjuntos4 2015 1

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
´
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matematicas
´
Departamento de Ingenier´ıa Matematica
Algebra I

525155

Conjuntos
Idea de Conjunto

´ bien determinada de objetos. Se
Llamaremos conjunto a cualquier coleccion
denotan por

(Primer semestre de 2015)

A, B, . . .

Los objetos los llamaremos elementos del conjunto, se denotan por

Conjuntos

Un objeto a de A se dice quepertenece al conjunto y se escribe a ∈
contrario se escribe a

Profesores:

Dos conjuntos importantes son el conjunto vac´ıo, que no contiene elementos y se
denota por U .

´ 2: Manuel Campos P.
Seccion

-1-

A. En caso

∈
/ A.

denota por φ, y el conjunto universo, que contiene a todos los elementos y se

´ 1: Hernan
´ Mardones G.
Seccion

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a, b, c . . .

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Conjuntos
Conjuntos

´ de Conjunto
Definicion

Ejemplos de Conjuntos
Dado x
¿x

∈ U y un conjunto A, subconjunto de U , se tiene la pregunta:
∈A∨x∈
/ A?.

´ vale decir mostrando los elementos de A.
• Por extension,

Si esta pregunta se puede responder siempre, entonces se dice que A esta´ bien

N := { 1, 2, 3, .. . } (Numeros
naturales)
´

definido.
Los elementos x de A se pueden caracterizar por una propiedad P (x) y definir el
conjunto como A

´ por comprension
´ .
= {x ∈ U : P (x)}, llamada definicion
´ se puede enumerar los elementos del conjunto A = {a, b, c, ...},
Tambien

´ esto es dando una propiedad que cumplen los elementos
• Por comprension,
del conjunto.

Q := {

´ por extension.
´
llamadadefinicion

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a
:
b

a, b ∈ Z, b = 0.}

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(Numeros
racionales).
´

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Conjuntos
´ de conjuntos
Inclusion

Conjuntos
Igualdad de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B , se dice que A es subconjunto de B , que A esta´
incluido en B , y se escribe A

´ tambien
´
⊆ B , sitodos los elementos de A estan

en B , esto es:

Dados dos conjuntos A y B , se dice que A y B son iguales, y se escribe

A = B , si los elementos de A y B coinciden, esto es:
A⊆B

⇐⇒

A=B

(∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B)

´
Propiedades de la inclusion.
Dados A,

B, C conjuntos, se tiene

⇐⇒

(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

Esto es, para un elemento x, se tiene:

(∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x ∈ U : x ∈ B ⇒ x ∈ A).

•φ⊆A⊆U
• A⊆A
• (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C

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Conjuntos
Conjuntos

Conjunto de las partes de un conjunto dado

Operaciones entre conjuntos
Dado un conjunto A, se define el conjunto de las partes de A, y se denota

P(A), como el conjunto de todos los subconjuntos de A, estoes:
P(A) := { X :

X ⊆ A}

Sean A, B conjuntos y U el conjunto universo.

• La diferencia de A y B es el conjunto
A − B := { x ∈ U :

x∈A

Notar que:

x ∈ B }.

´ se escribe A\B ).
(Tambien

1. los elementos de P(A) son conjuntos;

• El complemento de A con respecto a U , el cual se denota Ac , o bien A′ o
−A, es el conjunto U − A, vale decir:

B ∈ P(A) ⇔ B ⊆ A.
2.

∧

Ac := U − A = { x ∈ U :

P(A)= φ ya que φ, A ∈ P(A).

x ∈ A}

´ se denota por 2A .
3. El conjunto de las partes de A, tambien

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Conjuntos
Conjuntos

Otras operaciones entre conjuntos

Algunas propiedades

Sea U el conjunto universo y sean A, B subconjuntos de U .

1.

∀x ∈ U :

2.

φc = U3.

A ∪ Ac = U

4.

(Ac )c = A

5.

x∈A
∧

∨

´ de A y B , la cual se denota A ∩ B , es el conjunto de todos
• La interseccion
los elementos comunes a A y B , esto es

x ∈ Ac

Uc = φ

A ∩ B := { x ∈ U :

x∈A

∧

x∈B}

´ de A y B , la cual se denota A ∪ B , es el conjunto de todos los
• La union
´ en A o en B , esto es
elementos que estan

c

A∩A =φ

A ∪ B := { x ∈ U :

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´...