Conocimientos

1. Demostraciones de Axiomas
1.1 P(A) ≥ 0
La probabilidad de que ocurra un evento A es igual o mayor que 0
Ejemplo: La probabilidad de que nieve en Guayana es igual a 0
1.2 P(S) = 1
Se determina que la probabilidad de que ocurra el espacio muestra S debe de ser 1.
Ejemplo: si se escoge al azar una ficha de domino de un juego de piezas completo la probabilidad de que la suma de todos lospuntos de la ficha arrojen un numero comprendido entre el 0 y el 6 es igual a 1, que se traduce a 100%.
1.3 P(A∪B) = P(A) + P(B)
Si dos o más eventos son independientes entre sí; entonces la probabilidad de la unión de ellos es igual a la suma de sus probabilidades relativas.
Este axioma tiene su estudio en la adición de eventos mutuamente excluyentes, es decir, eventos que anulan laprobabilidad de que el otro ocurra.
Ejemplo #1: Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un Rey de corazón rojo en una sola extracción.
Solución: A y B son sucesos mutuamente excluyentes porque no es posible obtener ambos a la vez.
Las probabilidades son:
P (A) = 5/52 = 0, 096 9, 61%
P (B)= 2/52 = 0,038 3,84%
Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la adición de probabilidades para eventos mutuamente excluyentes se obtiene:
P (A∪B) = P(A) + P(B)
P (A∪B) = 5/52 + 2/52 = 7/52 = 0,134 13,46%
1.4 P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
La aplicación de este axioma viene dado cuando A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes, esdecir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo).
Ejemplo #2: Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.
Solución: A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.
Las probabilidadesson:
P (A) = 4/52
P (B) = 13/52
P (A∩B) = 1/52
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para sucesos no mutuamente excluyentes de obtiene:
P (A∪B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
P (A∪B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 4/13
1.5 P(AB) = P(A) ≤ P(B)
Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A U (B \A) y p (B)=p(A) +p (B \ A), luego entonces si p (B \ A)  ≥ 0 entonces se cumple que p(A) ≤p(B).
1.6 P(A) = 1 – P(A)
Este teorema se aplica si el espacio muestral S, se divide en dos eventos mutuamente excluyentes, A y A’ luego S=A U A’, por tanto p(S)=p(A) + p(A’) y como en el axioma dos se afirma que p(S)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A)
2. Eventos Compuestos.
Se definen como comprobaciones oeventos aleatorios que siguen un modelo dinámico, es decir, se pueden fraccionar a su vez en subexperimentos, que se realizan consecutivamente en el tiempo. Se pueden estudiar como modelo aleatorio multidimensional, o bien, como un modelo de aleatorio de experimentos simples, estudiando según el resultado que ocurra tras cada experimento simple, y los posibles resultados del siguiente experimento.Ejemplo 1: En una urna existe 10 pelotas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una pelota enumerada con un número par o con un número primo?
Solución:



Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:


Entonces, aplicando la regla para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:


Ejemplo 2: En una determinada ciudad el 50% haestado casado alguna vez, 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.
Solución
(Por comodidad...