Conservación de la energía mecánica

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

1.1 Objetivo:
Mediante el uso de una rueda de Maxwell, se estudiará la conservación de la energía mecánica y cómo la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética de traslación y de rotación

1.2 Fundamento teórico:
La rueda de Maxwell es, básicamente, un disco en el que se arrollandos cuerdas en su eje sólido, a cada uno de los lados. Las cuerdas se sujetan en una barra fija, de manera que al dejar libre el disco desde su posición inicial de máxima altura, las cuerdas se van desenrollando y el disco va girando mientras cae.
Consideremos, en primer lugar, el movimiento de un disco homogéneo que gira en sentido anti horario con respecto a su eje, que tomaremos como eje z. Elcentro de masas del disco será el origen del sistema de referencia en este ejemplo. Por tanto, el disco se puede representar geométricamente con un circulo en el plano xy que gira respecto a eje z. supongamos, por ahora, que el centro de masas está fijo. Debido a que tratamos con un sólido rígido (indeformable), el movimiento de cada punto del disco está relacionado con el del resto de los puntosdel disco en el sentido de que todos recorren los mismos ángulos en el mismo tiempo, es decir, si la velocidad angular de rotación de un punto del disco en un instante dado es ω (t), entonces todos los puntos del disco giran con la misma velocidad angular. Se define el vector velocidad angular como
ω=ωk
Pues el disco gira alrededor del eje z, al cual se asigna un vector unitario k. Consideremosun punto i del disco con vector de posición ri=xii + yij con respecto al centro de masas. La velocidad de este punto es, según las relaciones del movimiento circular,

ui=dridt=ω x ri
de manera que su energía cinética es
Ec,i=12mi ui 2=12ω2 (mi ri 2)

La energía cinética del disco es la suma de las energías cinéticas de todos sus puntos, así que se llega a
Er=i=1nEc,i=i=1n12mi ui 2=12ω2i=1nmi ri 2
Debido a que sólo consideramos movimiento de rotación del disco respecto a un eje que pasa por su centro de masas, la energía obtenida se llama energía cinética de rotación. La cantidad de Iz,
Er=12Iz ω2
Volvamos al caso de la rueda de Maxwell. Además de girar respecto a su eje, la reda cae, es decir, su centro de masas no está fijo, sino que se mueve con velocidad v. por tanto,además de la energía cinética de rotación, la rueda de Maxwell tiene una energía cinética de traslación Et dada por
Et=12m v2

donde m es la masa total del disco. También se ha de tener en cuenta la energía potencial de la gravedad a la que está sometida la rueda. Si tomamos el origen de alturas en la posición inicial, esta energía potencial es
Ep=-i=1nmi g si
siendo si el desplazamientovertical de cada partícula desde la posición inicial. Podemos escribir este desplazamiento como si =s+si ´ , donde s es el desplazamiento vertical del centro de masas, relacionado con la velocidad del centro de masas v por
v=dsdt
y si ´es el desplazamiento vertical del punto i respecto al centro de masas. Por la homogeneidad del disco, es claro que el término en si ´ no afecta a la energía potencial dela rueda (se puede imaginar que, mientras un punto del disco se desplaza verticalmente una altura si ´ con respecto al centro de masas, hay otro punto diametralmente opuesto que se desplaza una altura -si ´ , cancelándose mutuamente). Por tanto,

Ep=-i=1ngsmi = -gsi=1nmi =-mgs
Aún podemos simplificar más estas expresiones si ocurre que, durante el movimiento de la rueda de Maxwell, lacuerda no se desliza. Es este caso, la velocidad del centro de masas v es igual a la velocidad lineal de cualquier punto situado en la periferia del eje sólido de la rueda, donde está arrollada la cuerda. Si el eje tiene radio r, esto significa que
v=ωr
En consecuencia, la energía total de una rueda de Maxwell, que es la suma de la energía potencial gravitatoria, de la energía cinética de...