Conservacion de masa y momentum

Capítulo 2 Ecuaciones de Conservación de Masa y de Momentum

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En este capítulo se presenta en detalla la deducción de las ecuaciones de conservación de masa y de momentum, ecuaciones que conforman las conocidas ecuaciones de Navier-Stokes, ecuaciones que gobiernan la dinámica de los fluidos.

2.1 Ecuación de Conservación de masa La ley de conservación de masa para unvolumen de control cualquiera se escribe como

dM = 0 =

⎞ ∂⎛ ⎜ ρ d∀ ⎟ + ∫ ⎟ ∂t ⎜ ∀0 ⎝ ⎠

A0

∫ (ρV • dA)

(2.1)

donde ∀ 0 es el volumen de control, A0 es la superficie que encierra el volumen de control, ρ es la densidad del fluido y V es el campo de velocidades. La ecuación (2.1) nos dice que el cambio total de la masa en el volumen de control es cero, cambio representado la tasa enel almacenamiento de masa (primer término del lado derecho de la ecuación (2.1)) y por el flujo de masa a través de la superficie de control (último término de la ecuación (2.1)).

Figura 2.1

En el sistema de coordenadas cartesianas, el volumen de control cúbico que se muestra en la figura 2.1 se utiliza para integrar la ecuación (2.1). El flujo neto de masa en las direcciones x, y, y z secalcula como:
• ⎡⎛ ∂ρu dx ⎞⎤ ∂ρu dx ⎞ ⎛ M x = ⎢⎜ ρu + ⎟ dy dz ⎟ − ⎜ ρu − dx 2 ⎠⎥ ∂x 2 ⎠ ⎝ ⎣⎝ ⎦
• ⎡⎛ ∂ρv dy ⎞ ⎛ ∂ρv dy ⎞⎤ ⎟ − ⎜ ρv − ⎟⎥ dx dz M y = ⎢⎜ ρv + ⎜ ⎟ ⎜ ∂y 2 ⎠ ⎝ ∂y 2 ⎟⎦ ⎝ ⎠ ⎣

(2.2a)

(2.2b)

y
• ⎡⎛ ∂ρw dz ⎞ ⎛ ∂ρw dz ⎞⎤ M z = ⎢⎜ ρw + ⎟ − ⎜ ρw − ⎟ dy dx ∂z 2 ⎠ ⎝ dz 2 ⎠⎥ ⎣⎝ ⎦

(2.2c)

El cambio en el almacenamiento de masa en el volumen de control diferencial se evalúa comoM =

•

∂ (ρ dx dy dz ) ∂t

(2.3)

Reemplazando las ecuaciones (2.2) y (2.3) en la ecuación (2.1) se obtiene finalmente:

∂ρ ∂ρu ∂ρv ∂ρw ∂ρ ∂ρ + + + =0 ó + ∇ • ρV = 0 ó + div (ρV ) = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t

(2.4a)

Cuando se considera el caso de un fluido incompresible, la ecuación (2.4a) se reduce a div (V) = 0. En coordenadas cilíndricas, la ley de conservación de masa para fluidosincompresibles toma la forma:
∂ u r u r 1 ∂ uθ ∂ u z + + + =0 ∂r ∂z r r ∂θ
(2.4b)

2.2 Ley de Conservación de Momentum La ley de conservación de momentum se basa en la segunda ley de Newton: la suma total de fuerzas externas que actúan sobre un elemento de fluido es

igual al cambio de momentum de dicho elemento. Tomando como elemento el volumen de control ∀ 0 , esta ley de conservación seescribe como:

∑ F = ∂t ⎜ ∫ Vρ d∀ ⎟ + ∫ V (ρV • dA) ⎜ ⎟
⎝
∀0

∂⎛

⎞ ⎠

(2.5)

A0

donde F representa el conjunto de fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control. Obsérvese que el cambio de momentum del volumen de control se evalúa como la suma del cambio de momentum al interior del volumen de control y el flujo de momentum a través de la superficie de control. La integraciónde la ecuación (2.5) se hace, en el sistema cartesiano, considerando un cubo diferencial como volumen de control como el que se muestra en la figura 2.2, cubo diferencial sobre el que actúan unos esfuerzos sobre la superficie que permiten evaluar las fuerzas externas, F. Estos esfuerzos se descomponen en esfuerzos normales y en esfuerzos tangenciales a la superficie; y los esfuerzos tangenciales,a su vez, se descomponen en esfuerzos en las correspondientes direcciones paralelas a los ejes coordenados.

Figura 2.2

Los esfuerzos mostrados en la figura 2.2 son todos positivos, según la convención internacionalmente aceptada para el tensor de esfuerzos utilizado en mecánica de sólidos. Obsérvese que este tensor de esfuerzos es un tensor simétrico.

Para evaluar el cambio de momentumen el volumen de control, se utilizan los cubos diferenciales mostrados en las figuras 2.1 y 2.2. Obsérvese que la ecuación (2.5) es una ecuación vectorial, la cual tiene tres ecuaciones escalares en el sistema cartesiano, una para cada dirección cartesiana. Para la dirección x, la sumatoria de fuerzas externas actuando sobre las 6 caras del cubo diferencial y considerando solamente las fuerzas...