conservación de la masa

2. Conservación de la masa
La ecuación de conservación de la masa representa una previsión de la adición y
sustracción de masa de una región concreta de un fluido. Pensemos en un volumen fijo
e indeformable de un fluido, V, llamado volumen de control (cv), que tiene un límite
de superficie definido, llamado superficie de control (cs). Para que se cumpla la
conservación de la masa, la tasa deintercambio de masa por unidad de tiempo dentro
del volumen de control tiene que ser igual a la velocidad la que la masa penetra en el
volumen de control más la velocidad a la que éste gana o pierde masa debido a fuentes y
sumideros. A continuación se describe una expresión matemática de esta ley.
Dentro del volumen de control existe una distribución de algunas especies, que
viene definidapor el campo de concentración (concentration field) C (x,y,z). La masa
,
total dentro de dicho volumen es:
(1)
M puede variar a lo largo del tiempo debido a fuentes y sumideros localizados en el
interior del volumen, o a flujos de masa que atraviesen sus límites. En un sistema de
fluidos existen dos tipos de flujo másico: advección y difusión. El flujo neto de masa
que sale del volumen decontrol viene dado por la integral:
(2)

Aquí, V = (u, v, w) es el vector de velocidad y n es la normal que apunta hacia afuera para el
segmento de superficie dA. V ⋅ n representa la componente de velocidad perpendicular al
segmento de área dA. Definir a n como la normal en dirección hacia afuera convierte a (2) en el
flujo neto de V. Es decir, el flujo saliente de V (en la misma dirección quen ) contribuye
positivamente a la integral, y el flujo entrante en V (opuesto a n ) contribuye negativamente. El
flujo neto saliente del volumen de control debido a la difusión se define mediante la ley de Fick.
(3)

Nótese que los gradientes de concentración se definen respecto del eje n , es decir son
siempre perpendiculares a la superficie y en posición hacia afuera. Designar a Dn comoel coeficiente de difusión a lo largo del eje n permite la anisotropía en D. Para la
difusión molecular y/o la turbulencia isotrópica, D no es una función de dirección y el
subíndice se puede eliminar. La expresión matemática definitiva de conservación de la masa
combina (1), (2) y (3).
Conservación de la masa en forma integral (volumen de control)

(4)

velocidad de cambio
de masa en eltiempo
dentro de cv

flujo de advección
entrante en el
volumen de control

flujo difusivo
entrante en el
volumen de control

fuente
sumidero

Problemas de ejemplo en que se emplea la forma integral de conservación de la masa
(ábralos desde la página principal para verlo en una ventana nueva)
Forma diferencial de conservación de la masa
La forma diferencial de conservación de lamasa se deduce expresando (4) para un
volumen cúbico infinitamente pequeño. El volumen es lo suficientemente pequeño para
que asumamos que la concentración en su interior es esencialmente uniforme. Además, es
rígido, de modo que las dimensiones ∂x, ∂y, y ∂z son constantes. Las dos integrales de
superficie (elementos 2 y 3 de (4)) se reducen a una suma de flujos que atraviesan cada
una de lasseis caras del cubo.
(5)
A modo de ejemplo, pensemos en flujos en dirección x que atraviesan las caras
designadas con 1 y 2, y situadas en x = x1 y x2, respectivamente.

En la cara 1 n apunta en dirección x negativa, de modo que V ⋅ n = −u , y ∂C ∂n = −∂C ∂x . El
cálculo de la integral de superficie para la cara 1 es, por lo tanto:
(6)

Flujo a través de 1 =

Para la cara 2 es similar,teniendo en cuenta que n apunta en dirección x positiva:
(7)

Flujo a través de 2 =

El flujo neto en dirección x que entra en el volumen de control es la suma de (6) y (7).
(8)

Flujo neto en x =

Si asumimos que C, u, ∂C/∂x, y Dx son funciones continuas de x, se puede utilizar una expansión
de Taylor para expresar cada parámetro en x2 como una función del mismo parámetro en x1.
+...