Constante De Equilibrio

Roberto Geraldo

Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones de Primer Orden. Aplicaciones

1. Dada la ecuación diferencial xy ′ = x2 − y 2 + y a) Determinar el dominio de existencia y unicidad de soluciones. b) Hallar todas las soluciones. c) Encontrar la solución particular que pasa por el punto (eπ , 0) y su respectivo intervalo de definición. 2. Dada la ecuación diferencial (x2 − 1)y ′ + xy(1 −y) = 0 a) Determinar el dominio de existencia y unicidad de soluciones. b) Hallar todas las soluciones. √ c) Encontrar las soluciónes particulares que pasan por los puntos (1, 1), (1, 2) y ( 2 , 1/2) y su respectivo intervalo de definición. se puede reducir a una ecuación

3. Demuestre que una ecuación de la forma y ′ = F Use lo anterior para resolver las ecuaciones: a) y ′ = y−x−1 x+y−1 b) (y + x+ 1)dx + (2y + 2x + 1)dy = 0

ax + by + c ex + f y + g de variables separables. (Libro USACH, página 31)

4. Resuelva las ecuaciones diferenciales homogéneas a) x(x − y)y ′ + y 2 = 0 b) x2 y ′ = y(x + y) c) y + x cot d) x+
y x

dx − x dy = 0 dy = y, dx con y(1) = 1 x + y 3 dx + 3y 5 − 3y 2 x dy = 0

y 2 − xy

5. Resuelva la ecuación (Ayuda: hacer x = z α , y calcular α para convertirlaen homogénea) 6. Resuelva la ecuación x2 y 2 − 1 dy + 2xy 3 dx = 0 (Ayuda: hacer y = z α , y calcular α para convertirla en homogénea) 7. Resuelva las ecuaciones diferenciales exactas: a) ( sen(x)(1 − y) − 2 cos(x)) dx + cos(x) dy = 0 b) (2x − 1)(y − 1) dx + (x + 2)(x − 3) dy = 0 c) (y 3 − 1)ex dx + 3y 2 (ex + 1) dy = 0

8. Resolver la ecuación diferencial exacta ( 2x + ey ) dx + xey dy = 0 yhallar la solución particular que pasa por el punto (1, 0), con su respectivo intervalo de definición. 9. En los siguientes ejercicios, encuentre un factor de integración que sea función de una sola variable (x o y) y usando ese factor, resolver la ecuación. a) 2y 3 dx + 3y 2 dy = 0 b) (6xy 2 + 2y) dx + (12x2 y + 6x + 3) dy = 0 c) y sen(y) dx + x(sen(y) − y cos(y) )dy = 0 10. Resuelva la ecuacióndiferencial (2x3 + 3x2 y − y 3 ) dx + (2y 3 + 3xy 2 − x3 ) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante del tipo µ(x, y) = f (x + y) 11. Resuelva la ecuación diferencial y(x2 y 2 + xy) dx + x(x2 y 2 − 1) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante del tipo µ(x, y) = f (xy) 12. Resuelva la ecuación 6xy dx + 4x2 + 10 x dy = 0

sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = yf (x), siendo f (x) una función que depende solo de x. 13. Sabiendo que µ(x, y) = 3xy 2 es un factor integrante de la ecuación x 1 − 2 y xy dx + Q(y) dy = 0

determine Q(y) y resuelva la respectiva ecuación. 14. Sabiendo que µ(x, y) = ey sen x es un factor integrante de la ecuación y F (x) dx + x2 G(y) dy = 0 (a) Determine F (x) y G(x). (b) Resuelva la ecuación resultante. 15. Resuelva lassiguientes ecuaciones diferenciales de Bernouilli a) y ′ + xy = x3 y 3 b) xy ′ + y = y 2 ln(x) c) y ′ + xy = √ d ) x3 y ′ = 2y( 3 y + 3x2 ) e) y(6x2 y 2 − x + 1) + 2xy ′ = 0 f ) y ′ = y + e−3x y 4
x y3

2 1 16. Resuelva la ecuación de Ricatti y ′ = x3 + y − y 2 x x de la forma yp (x) = ax2 + b. 17. Resuelva el problema de valor inicial y ′ + x−1 y = x−1 y 2 ,

sabiendo que tiene una soluciónparticular

y(1) = y0

(Note que es una ecuación de Ricatti. No es muy dificil una solución particular) 18. Considere la ecuación lineal y ′ + cos(x) y = e− sen(x) Pruebe que toda solución φ de esta ecuación satisface φ(kπ) − φ(0) = kπ 19. (a) Muestre que el cambio de variable z = g(y) convierte la ecuación g ′ (y)y ′ + p(x)g(y) = f (x) en una ecuación lineal. (b) Usando lo anterior encuentre lasolución general implícita de la ecuación ey
2

2yy ′ +

2 x

=

1 x2

(c) Encuentre la solución particular que pasa por el punto (2, −(ln(2))1/2 ) y el intervalo máximo donde está definida. 20. Resuelva el problema de valor inicial haciendo la sustitución y = ux x2 y ′ = y 2 + xy − x2 , 21. Considere la e.d.o y(1) = 0

y y dy = − + x2 (1 + x) con y(1) = 3. Pruebe que haciendo el...