Construccion de funciones

7.6. MODELOS MATEMÁTICOS: CONSTRUCCIÓN DE FUNCIONES.
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1. A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16 mts. de altura entra agua a una razón determinada.
Expresar el volumen de agua en un instante dado:
a. En función de la altura h.
b. En función del radio de la base x.

Solución.
En la figura aparece elcono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado.

El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:

Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene:
(2)
a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y sustituirlo en (1). Asi,

Luego,

b. Para expresar el volumen en función delradio x, se sustituye (2) en (1).
Asi
2. Un alambre de 100 cm. de longitud se corta a una distancia x de uno de sus extremos en dos partes, formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado (ver figura).
a. Exprese el perímetro de cada figura en función de x.
b. Exprese el área total de las figuras en función de x. ¿Cuáles son sus respectivos dominios?
Solución.Longitud de la
circunferencia = x Perímetro del
cuadrado = 100 – x
Longitud de la circunferencia (1)
a. Perímetro del cuadrado (2)
Ahora:
(Dominio de P1(x))
b. Área del círculo
Área del cuadrado
Asi que:

donde
3. Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver fig.).Exprese el volumen de la caja en función del lado del cuadrado recortado.

Solución.
Volumen de la caja = Área de la base x altura
V(x) = (a – 2x)2 . x
V(x) = 4x3 – 4ax2 + a2x ;
4. Un abrevadero que está lleno de agua tiene 2 mts. de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros invertidos de 60 cm. de lado (Ver fig.) . ¿Cuál es el volumen de agua en el abrevadero?

Sial abrevadero se le abre un orificio en el fondo y el agua se escapa a una razón dada. Exprese el volumen en un instante dado posterior en función:
a. De la base del triángulo.
b. De la altura del triángulo.
Solución.
Volumen = (Área de la base) . (altura)
=
Pero y . Luego,

En el instante posterior en el que se mide el volumen, las caras laterales son triángulos cuya base es xy cuya altura es h.
Asi que (1)
Ahora, como los triángulos ABC y MBN son segmentos, se tiene:
(2)
a. Para expresar el volumen en función de la base del triángulo, se despeja h en (2) y se sustituye en (1).
Asi,
Luego,
con
V(0) = 0 (el tanque está vacío)
(el tanque está lleno)
b. Igualmente, si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, de (2) se tiene:
, ysustituyendo en (1) se obtiene:
Esto es, con
Note que:
V(0) = 0 (el tanque está vacío)
(el tanque está lleno).
5. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. Los puntos Q y D están respectivamente y en la misma orilla de B a x mts. y a 600 mts. (Ver fig.).
Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta Dpasando por Q. Si el costo por metro de cables es de pesos bajo el agua y de k pesos por tierra; exprese el costo total como una función x. ¿Cuál es el dominio de la función costo?.

Solución.
La función costo total viene dada por:
con
con
El Dominio de la función costo total es el intervalo [0, 600].
Note que:
i.
Esto significa que si x = 0, el punto Q coincide con B y en estecaso, el cable se debe tender desde A hasta B por agua y desde B hasta D por tierra, implicando un gasto total de 975 k pesos.

ii.
Esto significa que si x = 600, el punto Q coincide con D y en este caso, el cable se debe tender directamente desde A hasta D por agua, demandando un gasto total de aprox. 838.5 k pesos.

iii.
Esto significa que si el punto Q está a 400 mts. de B y se tiende...