construccion

Tema 1 Construcciones Geométricas Fundamentales. Angulos en la circunferencia. Potencia. Eje y centro radical. Arco capáz.

1. Geometría Euclidiana.
Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro "Los elementos", dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente –desde Arquímedes hasta Steiner.
Confrecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana y es la base
teórica que utilizamos para las construcciones Geométricas Fundamentales.

1.2 Postulados de Euclides.
La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos (conocidos comoaxiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también
positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazaruna única paralela a la recta dada.

Como curiosidad cabe decir que este último postulado se puso en duda a lo largo del siglo XIX sentando las bases de las geometrías no euclidianas.

1.3 Teorema de Tales.

Si dos rectas convergentes se cortan por un haz de rectas paralelas los segmentos que se corresponden en una y otra son proporcionales, de forma que se cumple: AB/A´B´=BC/B´C´=… (fig.1)fig.1

Demostración: En la imagen de abajo (fig.2) observamos una serie de triangulos semejantes, o sea que tienen sus angulos iguales, de tal modo que podemos decir: A´B”/A´B´= B´C”/B´C´=… Tambien aparecen paralelogramos; A´B”=AB; B´C”=BC=… Por lo tanto llegamos a la conclusión de: AB/A´B´=BC/B´C´=…
como queríamos demostrar.


fig.2
Particularización del teorema: si las rectasconvergentes se cortan por un haz de rectas paralelas equidistantes podemos decir que a segmentos iguales entre sí en una de ellas le corresponden segmentos iguales entre sí en la otra.

1.4 División de un segmento en “n” partes iguales.

Basándonos en el teorema de Tales podemos hacer dos tipos de construcciones:

a) mediante regla y compás (fig.3): Dado el segmento de extremos AB con el compáshacemos arcos de centros en A y B, radios arbitrarios AC=BD y AD=BC, los cuales se cortan en C y D siendo AC y BD rectas paralelas. Sobre AC y a partir de A se lleva la cantidad “n” de unidades de magnitud arbitraria, A1=12=23=…4E= u, y sobre BD a partir de B; B4´=4´3´=…1´F= u. Las rectas AF, 11´, 22´…EB son paralelas y cortan a AB en “n” partes iguales.

fig.3

b) mediante escuadra,cartabón y compás (fig.4): Dado el segmento AB trazamos por A una recta cualquiera r y sobre ella llevamos “n” unidades de magnitud arbitraria con el compás. Por el punto C trazamos la recta CB y paralelas a esta por cada una de las divisiones anteriores, hasta dividir AB en “n” partes iguales.


fig.4

Siempre que sea posible utilizaremos el método b) para dividir un segmento, ya que suconstrucción es más simple y práctica.

1.5 División de un segmento en partes proporcionales a otros dados

a) por paralelas(Fig.5): Dado el segmento AB y una serie de segmentos a, b y c se traza por A una recta r cualquiera. Sobre ella se llevan los segmentos a, b y c consecutivamente desde A. Unimos el punto D con B y trazamos paralelas a ella por los extremos de los segmentos a, b y c, hasta...