Construccion
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Publicado: 10 de octubre de 2012
CAPITULO II:
LA INTEGRAL INDEFINIDA
En las últimas sesiones se ha estudiado el siguiente problema: dada una función [pic], hallar su derivada, es decir, la función [pic]
En esta parte del curso estudiaremos el caso inverso: dada una función [pic], debemos hallar una función [pic]cuya derivada sea igual [pic], es decir: [pic].
Ejemplos
1.- Hallar [pic], sabiendo que [pic]
2.-Hallar [pic], sabiendo que [pic]
3.- Hallar [pic], sabiendo que [pic]
4.- Hallar [pic], sabiendo que [pic]
5.- Hallar [pic], sabiendo que [pic]
Definición: (Antiderivada)
Si en todos los puntos del intervalo [pic] se verifica la ecuación: [pic], la función [pic] se llama Primitiva o Antiderivada de la función [pic] sobre [pic].
Definición: (Antiderivada General)
Si [pic] es unaantiderivada de [pic] sobre el intervalo [pic] es decir:
[pic] sobre [pic],
entonces la función [pic] es la Antiderivada General de [pic], donde [pic]constante
Definición: (Integral Indefinida)
Se llama Integral Indefinida de una función [pic], a la antiderivada general de la función., es decir, si [pic], entonces:
[pic]
Notación:
[pic]: signo de laintegral
[pic]: integrando
[pic]: elemento de integración
Ejemplos
1.- [pic]……
2.- [pic]……
3.- [pic]……
4.- [pic]……
5.- [pic]……
“La integral definida es el proceso de hallar la antiderivada general de la función”
[pic]
PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA:
Consideremos [pic] y [pic] funciones derivables y [pic] constantes:a.- [pic]
b.- [pic]
c.- [pic]
d.- [pic]
e.- [pic]
TABLA DE INTEGRALES BASICAS
Sea [pic] función diferenciable
1.- [pic] 11.- [pic]
2.- [pic] 12.- [pic]
3.- [pic] 13.- [pic]
4.- [pic] 14.- [pic]
5.- [pic] 15.- [pic]
6.- [pic] 16.- [pic]
7.- [pic] 17.- [pic]
8.- [pic] 18.- [pic]
9.- [pic] 19.- [pic]
10.- [pic] 20.- [pic]21.- [pic]
22.- [pic]
23.- [pic]
24.- [pic]
Ejemplos explicativos:
Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:
1.- [pic] 6.- [pic]
2.- [pic] 7.- [pic]
3.-[pic] 8.- [pic]
4.- [pic] 9.- [pic]
5.- [pic] 10.- [pic]
Ejemplos para el aula:
Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:1.- [pic] 6.- [pic]
2.-[pic] 7.- [pic]
3.-[pic] 8.- [pic]
4.- [pic] 9.- [pic]
5.- [pic] 10.- [pic]
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
I.- Integración por Cambio de Variable.
Sea [pic] una función diferenciable, se cumple:
[pic]
Ejemplos explicativos:
Resolver:
1) [pic] 6) [pic]
2) [pic] 7) [pic]
3) [pic] 8)[pic]
4) [pic] 9) [pic]
5) [pic] 10) [pic]
Ejemplos para el aula:
Resolver:
1) [pic] 6) [pic]
2) [pic] 7) [pic]
3) [pic] 8) [pic]
4) [pic] 9) [pic]
5) [pic] 10) [pic]
INTEGRAL POR PARTES
Sea [pic] y [pic], dos funciones diferenciables:
[pic]
Luego [pic] es una antiderivada de [pic], es decir:
[pic]
Entonces:[pic]
[pic]
[pic] ……. Fórmula de Integración por Partes
Observaciones:
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica, se elige a [pic] como el polinomio y al resto se le considera [pic].
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función exponencial, se elige a [pic] como el polinomio y al resto se leconsidera [pic].
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función logarítmica, se elige a [pic] como la función logarítmica y al resto se le considera [pic].
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica inversa, se elige a [pic] como la función trigonométrica inversa y al resto se le considera [pic].
- Si el...
LA INTEGRAL INDEFINIDA
En las últimas sesiones se ha estudiado el siguiente problema: dada una función [pic], hallar su derivada, es decir, la función [pic]
En esta parte del curso estudiaremos el caso inverso: dada una función [pic], debemos hallar una función [pic]cuya derivada sea igual [pic], es decir: [pic].
Ejemplos
1.- Hallar [pic], sabiendo que [pic]
2.-Hallar [pic], sabiendo que [pic]
3.- Hallar [pic], sabiendo que [pic]
4.- Hallar [pic], sabiendo que [pic]
5.- Hallar [pic], sabiendo que [pic]
Definición: (Antiderivada)
Si en todos los puntos del intervalo [pic] se verifica la ecuación: [pic], la función [pic] se llama Primitiva o Antiderivada de la función [pic] sobre [pic].
Definición: (Antiderivada General)
Si [pic] es unaantiderivada de [pic] sobre el intervalo [pic] es decir:
[pic] sobre [pic],
entonces la función [pic] es la Antiderivada General de [pic], donde [pic]constante
Definición: (Integral Indefinida)
Se llama Integral Indefinida de una función [pic], a la antiderivada general de la función., es decir, si [pic], entonces:
[pic]
Notación:
[pic]: signo de laintegral
[pic]: integrando
[pic]: elemento de integración
Ejemplos
1.- [pic]……
2.- [pic]……
3.- [pic]……
4.- [pic]……
5.- [pic]……
“La integral definida es el proceso de hallar la antiderivada general de la función”
[pic]
PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA:
Consideremos [pic] y [pic] funciones derivables y [pic] constantes:a.- [pic]
b.- [pic]
c.- [pic]
d.- [pic]
e.- [pic]
TABLA DE INTEGRALES BASICAS
Sea [pic] función diferenciable
1.- [pic] 11.- [pic]
2.- [pic] 12.- [pic]
3.- [pic] 13.- [pic]
4.- [pic] 14.- [pic]
5.- [pic] 15.- [pic]
6.- [pic] 16.- [pic]
7.- [pic] 17.- [pic]
8.- [pic] 18.- [pic]
9.- [pic] 19.- [pic]
10.- [pic] 20.- [pic]21.- [pic]
22.- [pic]
23.- [pic]
24.- [pic]
Ejemplos explicativos:
Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:
1.- [pic] 6.- [pic]
2.- [pic] 7.- [pic]
3.-[pic] 8.- [pic]
4.- [pic] 9.- [pic]
5.- [pic] 10.- [pic]
Ejemplos para el aula:
Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:1.- [pic] 6.- [pic]
2.-[pic] 7.- [pic]
3.-[pic] 8.- [pic]
4.- [pic] 9.- [pic]
5.- [pic] 10.- [pic]
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
I.- Integración por Cambio de Variable.
Sea [pic] una función diferenciable, se cumple:
[pic]
Ejemplos explicativos:
Resolver:
1) [pic] 6) [pic]
2) [pic] 7) [pic]
3) [pic] 8)[pic]
4) [pic] 9) [pic]
5) [pic] 10) [pic]
Ejemplos para el aula:
Resolver:
1) [pic] 6) [pic]
2) [pic] 7) [pic]
3) [pic] 8) [pic]
4) [pic] 9) [pic]
5) [pic] 10) [pic]
INTEGRAL POR PARTES
Sea [pic] y [pic], dos funciones diferenciables:
[pic]
Luego [pic] es una antiderivada de [pic], es decir:
[pic]
Entonces:[pic]
[pic]
[pic] ……. Fórmula de Integración por Partes
Observaciones:
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica, se elige a [pic] como el polinomio y al resto se le considera [pic].
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función exponencial, se elige a [pic] como el polinomio y al resto se leconsidera [pic].
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función logarítmica, se elige a [pic] como la función logarítmica y al resto se le considera [pic].
- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica inversa, se elige a [pic] como la función trigonométrica inversa y al resto se le considera [pic].
- Si el...
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