Construcciones De Los N Meros Reales

Construcciones de los números reales
Caracterización axiomática
Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directo que introduce el sistema (ℝ, +, ., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números reales, + y . son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ5 . Se presentauna variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades:
Un conjunto  es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:
1.  es un campo.
2.  es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:
Si  entonces ;
Si  y  entonces .
3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
Todo conjunto no vacío yacotado superiormente tiene un supremo.
Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentesal conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.
Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.
En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puedeusar el símbolo  para representarlo.
Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que  es completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunos de estos son:
(Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.
(Bolzano-Weierstrass) Elconjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados  tiene intersección no vacía.
Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto quesatisfaga la siguiente lista de axiomas.
1. Si , entonces  (Cerradura en la suma)
2. Si , entonces  (Conmutatividad en la suma)
3. Si , entonces  (Asociatividad en la suma)
4. Existe  de manera que  para todo  (Neutro aditivo)
5. Para cada  existe un elemento  tal que  (Inverso aditivo)
6. Si , entonces  (Cerradura en la multiplicación)
7. Si , entonces  (Conmutatividad en la multiplicación)
8.Si , entonces  (Asociatividad en la multiplicación)
9. Existe  de manera que  para cualquier  (Neutro multiplicativo)
10. Para cada  existe un elemento  tal que  (Inverso multiplicativo)
11. Si , entonces  (Distributividad de la multiplicación en la suma)
12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)



13. Si ,  y  entonces  (Transitividad)
14. Si  y , entonces  (Monotonía en la suma)15. Si ,  y , entonces  (Monotonía en la multiplicación)
16. Si  es un conjunto no vacío acotado superiormente en  , entonces  tiene supremo en  (Axioma del supremo)
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue  de otros cuerpos ordenados como . Debe señalarse que los axiomas 1 a 15 no constituyen una teoría categórica yaque puede demostrarse que admiten al menos un modelo no estándar diferente de los números reales, que es precisamente el modelo en el que se basa la construcción de los números hiperreales
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