Construcciones Geograficas

Josep Rochera Gaya (IES Pilar Lorengar) Taller de Talentos Matemáticos Zaragoza, 14 enero 2005



Construcciones Geométricas




Por “construcciones geométricas” se suele entender la Geometría que se puede construir con regla y compás. Debido a que el tiempo disponible para desarrollar las Matemáticas en la Educación Secundaria y elBachillerato se ha ido reduciendo progresivamente, este tema se suele tratar casi de forma simbólica en los programas de esta materia, viéndose más, posiblemente, en el área de Plástica (Dibujo Lineal). Por otra parte, con la utilización de los ordenadores y de programas de CAD (Diseño Asistido por Ordenador) o de Geometría Interactiva, la utilización real del compás y del transportador se ha reducidoal mínimo, habiendo casi desaparecido en las áreas profesionales.

A pesar de todo, las “construcciones geométricas” mantienen intacta su utilidad para desarrollar la intuición, facilitando una visión global de un problema que permite, en muchos casos, obtener una solución con un grado de aproximación bastante aceptable y, también, desarrollar una vía de resolución para lograr la solución exacta.En lo que sigue veremos una aproximación necesariamente esquemática y superficial de lo que se puede hacer y resolveremos de forma aproximada algunos ejemplos. Con ésto no se pretende eludir la resolución algebraica (exacta) sino hacer ver que, en muchas ocasiones, es conveniente desarrollar un esbozo de los elementos descritos en el problema para poder traducir, posteriormente, todos los pasosanteriores al lenguaje algebraico y resolver con todo detalle el problema.



Material a utilizar

Regla, compás y transportador de ángulos.

Es conveniente hacer dos consideraciones respecto de estos instrumentos:
• La regla que se utiliza normalmente es una regla graduada, vienen determinadas las medidas en centímetros y milímetros. En realidad, la regla de la Geometría Clásica es uninstrumento que nos permite sólo trazar rectas (siendo estrictos deberíamos hablar de segmentos de rectas), aunque parezca extraño las distancias “se miden” con el compás comparando un segmento con otro considerado como la unidad. En la práctica utilizaremos la regla a la que estamos acostumbrados por comodidad.
• El transportador nos permite medir de una manera aproximada los ángulos, pero esprecisamente este carácter de aproximación y del buen ojo de quien mide lo que impide que sea tenido en cuenta en las demostraciones. A pesar de ello, se utilizará esporádicamente con fines didácticos e intuitivos y, fundamentalmente, prácticos.



0 Preliminares

Tomaremos como resultados conocidos los siguientes:

P1 La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.C

A+B+C = 180º


A B


1
P2 Semejanza de triángulos. Proporcionalidad de sus lados.

Dos triángulos ABC, A’B’C’ son semejantes si tienen los mismos ángulos y los lados son proporcionales dos a dos.
C

b C’


b’ a’ a c’
A=A’ B’ Bc

A=A’ B=B’ C=C’

a = b = c a' b' c'
Se puede reducir la comprobación a los siguientes casos: (a) dos de los ángulos son iguales.
(b) tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
(c) todos los lados son proporcionales.

B
P3 Teorema de Pitágoras.


c a
ABC es rectángulo en A sii (si y sólo si) a2 = b2 + c2A b C Aunque en general se suele utilizar el teorema de Pitágoras sólo para aplicar la igualdad, también se puede emplear para demostrar que un triángulo es rectángulo comprobando
que sus lados verifican la relación.


P4 Teorema de la altura. A



h h =
B C
m n
m·n


P5 Ángulos...