Construcciones Geometricas

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Capítulo I
El papel de las construcciones en la enseñanza de la geometría
1. Introducción
Existe una división tradicional en la matemática enseñada en la escuela:
aritmética y geometr ía. Las cosas - todos lo sabemos - no están repartidas en forma
pareja. La aritmética domina, la geometr ía pelea su espacio a duras penas.
Pero, ¿qué es lo que tienen en común la actividad aritmética yla geométrica
para que ambas “ramas” se alojen en el dominio de la matemática?, ¿qué es la
geometría?, o más precisamente, ¿qué es la geometr ía cuando se trata de un objeto
que hay que enseñar en la escuela pr imaria?
Todos sabemos que la geometr ía “se trata” del estudio de las propiedades de
las figuras y de los cuerpos. Claro, esta “definición” es tan amplia que podría albergaractividades de muy diversa naturaleza. Veamos un poco.
Consideremos, por ejemplo, el siguiente problema. 2
En el triángulo ABC el ángulo a mide 30° y el ángulo b mide 70° Sobre la
.
prolongación del lado AC se deter mina el punto D de manera que el segmento CD sea
igual al segmento CB. Hallar los valores de los ángulos del triángulo DCB.
B
b

Hemos designado con los números
1, 2 y 3 a los ángulosdel tr iángulo
B CD.

1
3

c

D

2

a

C

A
El ángulo a mide 30º
El ángulo b mide 70º
CB = CD
¿Cómo resolver este problema?. Una posibilidad es medir los ángulos 1 , 2 , y 3 del
triángulo BCD con el transportador.
Otra posibilidad es hacer el siguiente análisis: como la suma de los ángulos interiores
de un triángulo es 180º , el ángulo c debe medir 80º.
b
c
a

2

Tomado del libro Problemas 1, de Olimpíada Matemática Ñandú, de Julia Seveso y Graciela Ferrarini.

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Como los ángulos c y 2 son adyacentes, el ángulo 2 debe medir 100º .
b
c

2

a
Ahora bien, el triángulo BCD es isósceles porque hemos construído BC = CD.
Resulta entonces que los ángulos 1 y 3 tienen la misma medida. Como entre los dos
miden 80º , cada uno debe medir 40º pues el ángulo2 mide 100º
B
b

1

c
a

3

2

D

C

A

¿Cuál es la diferencia entre los dos procedimientos?
En el primer caso, recurrimos a la medición. Para poder hacerlo, es necesario
conocer qué es un ángulo, y saber medirlo de alguna manera, por ejemplo con
transportador. Efectuada la medición, nos “encontramos” con el resultado. Desde el
punto de vista de quien hace la experienciapodr ía tratarse de un hecho contingente :
los valores son estos, pero nada indica que no podr ían haber sido otros.
El segundo procedimiento es anticipatorio r especto de la experiencia de
medir: se relacionan elementos del problema (el triángulo BCD es isósceles, los
ángulos ACB y BCD son adyacentes) con algunos conocimientos sobre las figuras (la
suma de los ángulos de un triángulo es 180°en un triángulo isósceles los ángulos que
,
se oponen a lados iguales son iguales) y se establece que necesariamente los
ángulos tienen los valores hallados.
Aunque ambos procedimientos han sido puestos en juego para resolver el
mismo problema, suponen desde nuestra perspectiva actividades matemáticas muy
distintas. La diferencia central está marcada por el papel que juegan las propiedadesde las figuras en la resolución del problema.
Profundicemos un poco más el procedimiento de medición de los ángulos.
Quien recurre a este método no ha usado el conocimiento de la propiedad de la suma
de los ángulos interiores de un triángulo ni de los ángulos en un triángulo isósceles
para sustituir la experiencia. Esto no significa que desconozca las propiedades en
cuestión. En realidad nosabemos si las conoce o no. Simplemente no las ha usado
para establecer las medidas de los ángulos de manera independiente de un hecho
experimental.
Podría ocurrir que, como resultado de la medición, la suma de los valores
hallados no fuera 180º o que los ángulos CBD y CDB no resultaran iguales 3. Si este
fuera el caso, no estarían en las mis mas condiciones quienes, apoyados en el
3

En...