CONSULTA 2SANTIAGOSAMPEDRO

DEPARTAMENTO DE
CIENCIAS EXACTAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS

CONSULTA
TEMA: SOLUCIONES
SINGULARES

SANTIAGO SAMPEDRO RIERA

1. TEMA

Soluciones singulares.
2. MARCO TEÓRICO

Soluciónsingular de una ecuación diferencial
Definición.- Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se
puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores,es
decir, no es una solución particular.

Ej.
La familia de rectas y = cx + 2c2 es la solución general de la ecuación diferencial
y = xy’ + 2 (y’)2. La parábola x2 + 8y =0 es una solución singular.No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada.
En la figura (1) se muestra la solución singular (azul) y varias soluciones
particulares (rojo).

FIGURA (1)
Observeque la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la
familia de rectas y = cx + 2c2, cuando sucede esto decimos que la parábola x2 +
8y =0 es la envolvente de la familia derectas y=cx-2c2; como se indica en la
siguiente definición.

Envolvente
Definición.- Cualquier curva tangente a un número infinito de miembros de una
familia infinita de curvas, y que por lo menos estangente en cada uno de sus
puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la
familia.

La envolvente de una familia de curvas f(x, y, c) = 0 satisface el sistemaLo cual nos permite hallarla.

Ej.
Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias (x - c)2 + y2 = 1,
resolvemos el sistema

obteniendo que x=c. Al sustituir en la ecuación de lafamilia obtenemos que la
envolvente está formada por las rectas y= 1. La envolvente y algunos miembros
de la familia se muestran en la figura (2).

FIGURA (2)
3. BIBLIOGRAFÍA
-http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-

linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-geo/node7.html
G. Makarenko, M. Krasnov, A. Kisielov, “Problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias”, 1984