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CAPÍTULO 1

LOGARITMOS

1.1 SIMBOLOGÍA

log x:

Logaritmo común o decimal

ln x:

Logaritmo natural o neperiano

e:

2.71828183

10x:

Antilogaritmo de base 10

ex:

Antilogaritmo de base e

MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB

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1.2 INTRODUCCIÓN
Los logaritmos sirven, entre otras aplicaciones, para agiliza r el cálculo de algunas
operaciones matemáticascomo la multiplicación, división, potenciación y
radicación, exceptuando la suma y la resta.
Si bien los cálculos manuales con logaritmos han sido sustituidos por la
utilización de las calculadoras y computadores, el concepto de logaritmo y su
aplicación matemática es de uso especialmente en ciertos temas. Diversas
operaciones de análisis matemático no podrían ser resueltas sin la aplicaciónde
este concepto y en algunos casos de matemáticas financieras es indispensable.
1.3 DEFINICIONES
Lo primero que debe recordarse es que un logaritmo es un exponente, pero con
algunas características particulares que vamos a estudiarlas a continuación. Sin
embargo, debe mantenerse siempre presente que logaritmo es prácticamente
sinónimo de exponente.
En el caso de una ecuación exponencial dela forma b y = x en donde (b>0, b  1),
la variable x se expresa en términos de un número real b y la variable y. El
exponente y se denomina el logaritmo de x en base b.
si y solo si
x  b y (x>0)
y  log b x
1.4 LEYES DE LOS EXPONENTES
Suponiendo que "a" y "b" son números positivos; y, que "u" y "v" son números
reales, las leyes aplicables a los exponentes son:
1.4.1 a u * a v  a u  v1.4.2 a u / a v  a u  v
1.4.3 (a u )v  a u*v
1.4.4 (ab)u  a u * bu
u

au
a
1.4.5    u
b
b
Se puede expresar operaciones matemáticas con términos de este tipo, ejemplo:
122 + 245
2504 – 5403
753 * 1506
15012 / 83

suma de términos
resta de términos
multiplicación de términos
división de términos

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LOGARITMOS

Puede haber situaciones en que las bases de losnúmeros son las mismas, como:
1223 + 125
124 – 123
123 * 12 6
1214 / 123
Para la suma y resta no es posible una solución matemática directa, pero para la
multiplicación y división si:
123 * 126 = 123 + 6 = 129
1214 / 123 = 1214 - 3 = 1211
De esta manera, si la base es la misma, la multiplicación de términos se resuelve
con la suma de sus exponentes, mientras que la división de términos conla resta
de sus exponentes.
La potenciación y radicación, se resuelve con multiplicación y división de
exponentes respectivamente:
(124) 3 = 124* 3 = 1212
3

1212 = 1212/ 3 = 124

Términos con un misma base
Suma: bu + bv
Resta: bu – bv
Multiplicación: bu * bv
División: bu / bv
Potenciación: (bu) v
Radicación:

v

bu

Para resolver con los exponentes
No aplica
No aplicaSumar exponentes: u+v
Restar exponentes: u-v
Multiplicar exponentes: u*v
Dividir exponentes: u/v

Los logaritmos se basan en estos conceptos matemáticos. Se puede establecer
logaritmos (exponentes) de cualquier base, como el número 12 en el caso del
ejemplo anterior, en donde:
124 tiene como exponente el 4, equivale a decir:
124 log12(124) = 4 que se lee, logaritmo de base 12 del número 20736(124) es 4.
Sin embargo, los sistemas de logaritmos de uso frecuente son:
base 10
base 2.71828183

log10 x o simplemente log x
loge x o simplemente ln x, siendo e = 2.71828183

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Los primeros se denominan de base 10, decimales o comunes y los segundos
logaritmos naturales o neperianos, de los que la base se simboliza por el númeroirracional e. Si la base es diferente, se indica como subíndice: logb.
Es decir, para los logaritmos de base 10 y naturales, la notación utilizada es: log x
y ln x; para calcular el antilogaritmo normalmente se tiene los símbolos 10x y ex,
respectivamente.
Para realizar operaciones con logaritmos, se debe escoger una sola base,
cualquiera de ellas; para todas las operaciones matemáticas los...