conta

Cap´
ıtulo 4

Espacio dual
Una de las situaciones en donde se aplica la teor´ de espacios vectoriales es cuando se traıa
baja con espacios de funciones, como vimos al final del cap´
ıtulo anterior. En este cap´
ıtulo
estudiaremos algunas nociones b´sicas de ciertos espacios que de alguna forma le dan una
a
estructura a las ecuaciones lineales.

4.1

El espacio dual de un espaciovectorial

Definici´n 4.1 Sea V un K-espacio vectorial. Se llama espacio dual de V , y se lo nota V ∗ ,
o
al K-espacio vectorial
V ∗ = HomK (V, K) = {f : V → K / f es una transformaci´n lineal }.
o
Seg´n vimos en la Secci´n 3.7, si dim V = n, dadas B una base de V y B una base de
u
o
K, se tiene que Γ : HomK (V, K) → K 1×n definida por Γ(f ) = |f |BB , es un isomorfismo. En
consecuencia,dim(V ∗ ) = dim(K 1×n ) = n = dim V.
Ejemplo. Se consideran las transformaciones lineales δ1 , δ2 , δ3 de R3 a R definidas por
δi (x1 , x2 , x3 ) = xi para i = 1, 2, 3.
(R3 )∗

=

{f : R3 → R / f es transformaci´n lineal }
o

=
=

{f : R3 → R / f (x1 , x2 , x3 ) = ax1 + bx2 + cx3 con a, b, c ∈ R}
{f : R3 → R / f = a δ1 + b δ2 + c δ3 con a, b, c ∈ R}

=

< δ 1 , δ 2 , δ3 >

96Espacio dual

4.2

Base dual

Sea E = {e1 , e2 , e3 } la base can´nica de R3 . Las funciones del ejemplo anterior cumplen la
o
condici´n δi (ej ) = δij (donde δij es la funci´n delta de Kronecker, definida por δij = 1 si
o
o
i = j y δij = 0 si i = j). En lo que sigue, fijada una base de cualquier espacio vectorial V de
dimensi´n finita, vamos a ver c´mo encontrar una base de V ∗ que cumplaesta propiedad.
o
o
Proposici´n 4.2 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´n n, y sea B = {v1 , . . . , vn } una
o
o
base de V . Existe una unica base B ∗ = {ϕ1 , . . . , ϕn } de V ∗ tal que
´
ϕi (vj ) =

1
0

si i = j
si i = j

B ∗ se llama la base dual de B.
Demostraci´n. Para cada 1 ≤ i ≤ n, sea ϕi : V → K la transformaci´n lineal definida en la
o
o
base {v1 , . . . , vn }por:
1 si i = j
ϕi (vj ) =
0 si i = j.
Como dim(V ∗ ) = n, para ver que ϕ1 , . . . , ϕn ∈ V ∗ forman una base de V ∗ , basta verificar
que son linealmente independientes. Sean a1 , . . . , an ∈ K tales que
a1 ϕ1 + · · · + an ϕn = 0.
Evaluando en vi , resulta que 0 = a1 ϕ1 (vi ) + · · · + ai ϕi (vi ) + an ϕn (vi ) = ai para i = 1, . . . , n.
En consecuencia, B ∗ = {ϕ1 , . . . , ϕn } verificalas condiciones requeridas.
Supongamos que {ϕ1 , . . . , ϕn } sea otra base que satisface las mismas condiciones. Entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n, se tiene que
• ϕi (vj ) = 0 = ϕi (vj ) si 1 ≤ j ≤ n, j = i,
• ϕi (vi ) = 1 = ϕi (vi ) = 1,
es decir, ϕi y ϕi son dos transformaciones lineales que coinciden sobre una base. En consecuencia, ϕi = ϕi para cada 1 ≤ i ≤ n.
Ejemplos.
1. El ejemplo de laSecci´n 4.1 muestra que la base dual de la base can´nica de R3 es
o
o
E ∗ = {δ1 , δ2 , δ3 }, donde δi (x1 , x2 , x3 ) = xi para i = 1, 2, 3.
2. Sea V = R2 . Consideremos la base B = {(1, 1), (1, −1)}. Si B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 } es la base
dual de B, entonces debe cumplir
ϕ1 (1, 1)
= 1
ϕ1 (1, −1) = 0

y

ϕ2 (1, 1)
= 0
ϕ2 (1, −1) = 1

4.2 Base dual

97

Puesto que para cada (x, y) ∈ R2vale
(x, y) =
resulta que ϕ1 (x, y) =

x+y
x−y
(1, 1) +
(1, −1)
2
2

x+y
x−y
y ϕ2 (x, y) =
.
2
2

Si B es una base de un K-espacio vectorial V de dimensi´n finita y B ∗ es su base dual,
o
es posible calcular f´cilmente las coordenadas de un elemento de V en la base B utilizando
a
la base B ∗ . Rec´
ıprocamente, utilizando la base B, es f´cil obtener las coordenadas en la basea
B ∗ de un elemento de V ∗ .
Observaci´n 4.3 Sea B = {v1 , . . . , vn } una base de V y sea B ∗ = {ϕ1 , . . . , ϕn } su base
o
dual.
n

• Dado v ∈ V , podemos escribir v =

i=1

αi vi , con αi ∈ K. Entonces, para cada 1 ≤ j ≤ n,

n

ϕj (v) = ϕj

n

α i vi =
i=1

αi ϕj (vi ) = αj .
i=1

Luego, (v)B = (ϕ1 (v), . . . , ϕn (v)).
• Dada ϕ ∈ V ∗ , existen βi ∈ K tales que...