Contabilidad

Controlabilidad y observabilidad

Controlabilidad y Observabilidad
CAPITULO VI: Controlabilidad y Observabilidad Controlabilidad de sistemas lineales: definiciones y caracterización, Matriz de controlabilidad. Observabilidad de sistemas lineales: definiciones y caracterización, Matriz de observabilidad. Introducción En una representación por variable de estados de un sistema lineal, conmatrices A, B, C y D, las matrrices A y C describen el comportamiento no-forzado del sistema (o el comportamiento a entradacero), mientras que la matriz B caracteriza el efecto de la entrada (o el control) sobre la dinámica del sistema. La matriz D representa la transmisión directa de la entrada a la salida. Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron introducidos por Kalman en el año 1960.Ellas afrontan respectivamente la relación que existe entre la entrada y el estado (la controlabilidad), y entre el estado y la salida (la observabilidad). En este capítulo, cada vez que hagamos referencia a la entrada u(t) del sistema, supondremos que esa entrada es de acción de control, y no de una entrada que sea una perturbación al sistema (la entrada u(t) es siempre una variable que podemos"manejar" de alguna manera). La controlabilidad de un sistema responde a la siguiente pregunta: ¿Existe siempre una entrada de control u(t) la cual puede transferir el sistema desde el estado inicial x0 a cualquier otro estado x1 deseado en un tiempo finito? Mientras que la observabilidad responde a la pregunta: ¿El estado inicial x0 del que parte un sistema, puede siempre identificarse mediantela observación de la salida y(t) y de la entrada u(t) sobre un tiempo finito t? Estas características del sistema pueden ser contestadas mediante las propiedades de las matrices A, B, C y D. Ya que las matrices A y B tienen que ver con la relación entre entrada y estado, a este par de matrices se las conoce como el par de controlabilidad. En cambio, como las matrices A y C involucran el estado conla salida, a estas dos matrices se las conoce como el par de observabilidad. Controlabilidad Considere el sistema lineal contínuo en el tiempo representado por:

,

t ≥ t0,

x(t0) = x0

[Ec. 1]

donde A, B, C y D son funciones contínuas del tiempo. Supongamos que para alguna entrada u(t), t  [t0,t1], y para el estado inicial x0, el estado al tiempo t1 es x1. Decimos entonces que laentrada u transfiere el sistema desde el estado x0 (en el tiempo t0) al estado x1 (al tiempo t1). 1

Controlabilidad y observabilidad Veamos ahora entonces las definiciones de controlabilidad. Definición I: Estado controlable El estado inicial x0 del sistema descripto por las ecuaciones [1] se dice que es controlable sobre el intevalo [t0, t1] donde t1 es un tiempo finito, si existe alguna entradau sobre[t0, t1] el cual transfiere el sistema desde el estado x0 (al tiempo t0) al origen del espacio de estado al tiempo t1. De otra manera se dice que el estado x0 es incontrolable sobre [t0, t1]. Notar que en la definición utilizamos como estado de arrivo al origen del espacio de estado x = 0 pero esto se cumple, si y solo si, el estado final fuera cualquier otro estado x1 (por tratarse desistemas lineales). Notar además que en la definición pedimos que al menos exista una u(t), pero esta u(t) no necesariamente tiene que ser única (puede haber más de una u(t) que nos lleve el sistema desde x0 a 0). Definición II: Sistema completamente controlable Si todo estado x(t0) del sistema es controlable sobre [t0, t1], el sistema se dice que es completamente controlable sobre [t0, t1]. Ejemplo:Considere el sistema descripto por las ecuaciones [1], donde A, B, C y D son las matrices constantes:

,

,

,

D=0

Como podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será:

y la ecuación de la salida:

y suponiendo que el estado inicial fuere x1(t0) = x10, y x2(t0) = x20, podemos graficar el diagrama de simulación de dicho sistema como muestra la...