Contabilidad

Guia Nro 1. Los Números Reales

NÚMEROS REALES
1. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES.
Dados dos números naturales a y b, siempre se pueden sumar y multiplicar obteniéndose también los números naturales a + b y a ⋅ b. Pero utilizando sólo los números naturales, N = {0, 1, 2, 3, 4, …}, no es posible expresar algunas
cantidades de ciertas magnitudes negativas, ni hacer la resta a − b dedos números naturales en el caso de que a sea menor que b.
Por esta razón se amplía el conjunto N de los números naturales con los números negativos −1, −2, −3, −4, … y resulta el conjunto Z de los números enteros.
Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+ = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Los números racionales aparecen al medir magnitudes positivas o negativas con una unidad que no cabe exactamente un númeroentero de veces, pero si cabe una unidad fraccionaria de la misma. Si decimos que «6 de cada 10» estudiantes de un colegio son chicos, estamos dando la fracción 6/10, ya que si dividimos el centro en diez partes, seis serían de chicos.
Un número racional queda determinado y simbolizado por una fracción o cualquiera de sus equivalentes. El conjunto de los números racionales se representa por Q y estáformado por cocientes de números enteros, en los cuales el denominador es distinto de cero.

a

Q =  / a , b ∈ Z , b ≠ 0
b


Como recordarás del curso pasado, entre los números racionales y decimales existe una estrecha relación.
• Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto o periódico.
• Recíprocamente, todo número decimal exacto o periódico se puedeexpresar como una fracción, llamada fracción generatriz del número decimal.
La fórmula que nos permite hallar la fracción generatriz de un número decimal x es:

x=

EAP − EA
9K 90K 0

E son las cifras de la parte entera
A son las cifras del anteperiodo
P son las cifras del periodo
9…9 son tantos nueves como cifras tiene el periodo
0…0 son tantos ceros como cifras tiene el anteperiodoDe lo anterior se deduce la siguiente equivalencia:
• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por los decimales exactos y los
decimales periódicos (puros y mixtos).
Q = {decimales exactos} ∪ {decimales periódicos}

1

Ejemplo.

Hallemos la fracción generatriz de los siguientes números decimales.
36.310 − 3.631 32.679 3.631 
3.631 
=
=
a) Número decimalexacto x = 3’631 ⇒ x =
 x = 3'6310 =

9.000
9.000 1.000 
1.000 

375 − 3 372 124
=
=
99
99
33
2.478 − 24 2.454 1.227 409
=
=
=
c) Número decimal periódico mixto x = 2'478 = 2'4787878... ⇒ x =
990
990
495 165
b) Número decimal periódico puro x = 3' 75 = 3'757575... ⇒ x =

EJERCICIOS
1. Escribe el número decimal correspondiente a cada número racional e indica de qué tipoes.
a) 3/8
b) 5/3
c) 7/6
d) 7/15
2. Escribe en forma fraccionaria (fracción generatriz) los siguientes números decimales.
a) 3'6
b) 2 ' 4
c) 3'28
d) 0'123

2. NÚMEROS IRRACIONALES.
Los números irracionales aparecen al medir magnitudes positivas o negativas con una unidad que no cabe exactamente un número entero de veces ni tampoco ninguna unidad fraccionaria de la misma.
En este caso elresultado de la medida no es un número entero ni fraccionario, es decir, no es un número decimal
exacto o periódico; por tanto, el número de la medida será un número no periódico.
Así, al medir la diagonal de un cuadrado de lado una unidad aparece un número irracional: 2 = 1'41421356....
También es irracional la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, que es el número π =3'14159265 ....
Otro número decimal no periódico es 4’23123112311123111123… En este número decimal no existe ningún bloque
de cifras que se repita.
Otra familia de números irracionales conocida son los números dados por raíces no exactas; por ejemplo:

7,

23 ,

3

43 ,

4

17 ,

5

37 , ....

Los números irracionales son aquellos números decimales que tienen infinitas cifras...