contabilidad

M.4.Ecuación Diferencial Inexacta. Factor Integrante:
Existen ecuaciones diferenciales que no son exactas. Estas ecuaciones se pueden transformar en diferenciales exactas, multiplicándolas por unfactor apropiado, llamado factor de integración o factor integrante, se representa por la letra µ.
Sea:


Una ecuación diferencial inexacta, es decir:


No cumple con el criterio de exactitud,será posible que exista un factor µ(x,y) que transforme la ecuación (1), en un diferencial exacta, esto es:


La cual cumple:


Criterio de exactitud.



4.1 Factor Integrante: µ(x).:Solo depende de la variable x, está dada por:



Solo depende de la variable y, está dada por:



Ejemplo 1.



Solución:
La ecuación dada, es claro que esta expresada en su forma estándar:Donde:



Verificamos si la ecuación dada es exacta, para ello aplicamos el criterio de exactitud, dado por:



Esto es:



Como  ; entonces decimos que la ecuación diferencialdada es inexacta. Por lo tanto, tenemos que:


Entonces:


Se multiplica el factor integrante por la ecuación en su forma estándar, esto es:


donde:


Donde:


Verificamos si cumple conel criterio de exactitud, dado por:



Esto es:


Como  ; entonces decimos que la ecuación diferencial dada es exacta.

Entonces se tiene que:


i._ Tomamos la ecuación (4) eIntegramos, nos queda:

………………………….………………………...(6)

ii._ Para determinar g(y), se deriva parcialmente la ecuación (6) con respecto a y, obteniendo:




iii._ Igualamos las ecuaciones (7) y (5) yobtenemos g(y) por integración directa; es decir:




De donde: g(y),


iv._ g(y) se sustituye en la ecuación (6), nos queda:



v._ La solución general está dada por:Ejemplo 2.


Solución:
La ecuación dada, es claro que esta expresada en su forma estándar:
Donde:



Verificamos si la ecuación dada es exacta, para ello aplicamos el criterio de...