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Nociones basicas de Algebra
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1. Álgebra básica UN POCO DE HISTORIA El origen de la palabra ALGEBRA está en el libro titulado Al-jabr wa'l muqabalah escrito por el árabe Al-Hwarizmi en el s. IX. En él se exponen los métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado casi como ahora, excepto que no usa números negativos, por lo que sólo se resuelven ecuaciones de2º grado con coeficientes positivos.
2. Índice de temas • Monomios • Ecuaciones • Sistemas • Problemas
3. Monomios 1/3 Un monomio es un producto de cifras y letras. Ejemplo: 3b3c2 Los números se llaman COEFICIENTES. Las letras forman la PARTE LITERAL. El grado del monomio es el número de letras que contiene. Ejemplo: 3b3c2 tiene grado 5 (bbbcc). Dos monomios son semejantes si tienen la misma parteliteral. Ejemplo: 3x3 y -5x3 son semejantes. Sólo los monomios semejantes se pueden sumar/restar: basta sumar/restar únicamente las cifras.
4. Monomios 2/3 Sin embargo, para multiplicar/dividir los monomios no necesitan ser semejantes: Se operan las cifras y también las letras, aplicando las reglas de las potencias de la misma base. Ejemplo de suma/resta: 3x3-5x3 =-2x3 porque 3-5=-2 Ejemplo demultiplicación: 3x3·(-5x2) =-15x5 porque 3·(-5)=-15 y x3·x2=x5 Ejemplo de división: 12x3y4 :(-3x2y2) =-4xy2 porque 12:(-3)=-4, x3 : x2=x3-2=x1=x; y4 : y2=y4-2=y2
5. Monomios 3/3 Un polinomio es la suma de monomios no semejantes. Si la suma tiene 2/3 términos se llama binomio/trinomio. Los polinomios se suman sumando sus monomios semejantes. Los polinomios se multiplican multiplicando cada monomiode uno por cada monomio del otro. Si P(x)=2x+1 y Q(x)=3x-5 Ejemplo de suma P+Q: (2x+1)+(3x-5)=(2x+3x)+(1-5)=5x-4 Ejemplo de multiplicación P·Q: (2x+1)·(3x-5)=(2x·3x+2x·(-5))+(1·3x+1·(-5))= 6x2-10x+3x-5=6x2-7x-5
6. Ecuaciones 1/3 Evaluar un polinomio es calcular cuanto vale cuando cambiamos las letras por números concretos. Ej: 3x2+1 vale 13 cuando x=2 porque 3·22+1=3·4+1=13 Una ecuación es unaigualdad de polinomios. Un ecuación de primer/segundo grado es un polinomio de primer/segundo grado que vale 0. Ej: 3x-9=0 es una ecuación de 1er grado. Ej: x2-5x+6=0 es una ecuación de 2o grado. Resolver una ecuación es hallar los valores de las letras que la hacen cierta. Estos valores se llaman soluciones.
7. Ecuaciones 2/3 PRINCIPIO BÁSICO DEL ÁLGEBRA: Las soluciones de una ecuación no varíansi realizamos la misma operación en ambos lados. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO: La ecuación de primer grado tiene forma general ax+b=0 y su solución es x=-b/a. Ej: La solución de 3x-9=0 es x=9/3=3 porque a=3 y b=-9 En la práctica, para despejar x: como -9 está restando a x pasa al otro lado sumando: 3x=9 como 3 está multiplicando pasa al otro lado dividiendo: x=9/3=3. Para quitardenominadores se multiplica por su Ej: La ec. x/3-1/2=0 es m.c.m. a 6·(x/3-1/2)=2x-3=0 equivalente
8. Ecuaciones 3/3 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO: La ecuación de 2º grado tiene forma general ax2+bx+c=0 y sus dos soluciones son Ej: Como en 2x2-7x+3=0 los coeficientes son a=2, b=-7, c=3 las dos soluciones serán Esto es, X1=3 y x2=1/2 . Las ecuaciones ax2+bx=0 y ax2+c=0 se dicen incompletas.
9.Sistemas 1/3 Un sistema es un conjunto de ecuaciones con varias incógnitas. Estudiaremos los de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: x e y. Una solución del sistema es un conjunto de valores de las incógnitas que hacen ciertas todas las ecuaciones. Existen varios métodos de resolución de sistemas. Estudiaremos 2: el de sustitución y el de reducción Con este ejemplo: x+3y=9 (ec. I) -x-2y =1 (ec. II)
10.Sistemas 2/3 MÉTODO DE SUSTITICIÓN: 1) Se despeja una incógnita de una ecuación. Ej: la x en la ec. I: x=9-3y (I bis) 2) Se sustituye el valor de dicha incógnita en la otra ecuación, quedando una ec. en la otra incógnita Ej: En la ec. II -x-2y=1: -9+3y-2y=1 (II bis) 3) Se resuelve la ecuación en la otra incógnita Ej: De la ec. II bis: -9+3y-2y=1 luego y=1+9=10 4) Se obtiene el valor de la...