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Publicado: 4 de mayo de 2014
Función beta
Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de x e y.
En matemáticas, la función beta[1] es una función especial estrechamenterelacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.
] Definición
Dada una función f, muchas veceses útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene
Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de lafunción beta. Para x e y, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto Γ(x)Γ(y):
Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamosprimero el cambio de variables t = u2 y s = v2:
Pasando a coordenadas polares u = rcosθ, v = rsinθ esta integral doble arroja
Haciendo t = r2 obtenemos
Definiendo la funciónbeta
se obtiene
Propiedades
1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado
2. La función beta es simétrica
3. Haciendo cambios de variablesen la integral que define a la función beta
Derivadas
Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las funciones poligamma
dondeψ(x) es la función digamma.
Aplicación
Puesto que Γ(1) = 1, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que
de donde .
Supongamos que nes un entero no negativo y queremos calcular
Entonces podemos[2]
Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos
De manera que
Notas
1. ↑ Llamada tambiénfuncón beta de Euler o integral de Euler de primera especie
2. ↑ Este resultado es válido, aun si se considera a n como un número complejo cuya parte real es mayor que -1
Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de x e y.
En matemáticas, la función beta[1] es una función especial estrechamenterelacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.
] Definición
Dada una función f, muchas veceses útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene
Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de lafunción beta. Para x e y, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto Γ(x)Γ(y):
Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamosprimero el cambio de variables t = u2 y s = v2:
Pasando a coordenadas polares u = rcosθ, v = rsinθ esta integral doble arroja
Haciendo t = r2 obtenemos
Definiendo la funciónbeta
se obtiene
Propiedades
1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado
2. La función beta es simétrica
3. Haciendo cambios de variablesen la integral que define a la función beta
Derivadas
Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las funciones poligamma
dondeψ(x) es la función digamma.
Aplicación
Puesto que Γ(1) = 1, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que
de donde .
Supongamos que nes un entero no negativo y queremos calcular
Entonces podemos[2]
Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos
De manera que
Notas
1. ↑ Llamada tambiénfuncón beta de Euler o integral de Euler de primera especie
2. ↑ Este resultado es válido, aun si se considera a n como un número complejo cuya parte real es mayor que -1
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