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LÍMITES DE FUNCIONES

Se dice que una función y=f(x) tiene límite "l" cuando la x tiende a "a" y lo representamos por:



cuando para toda sucesión de números reales que se aproxime a "a" tantocomo queramos, los valores correspondientes de f(x) se aproximan a "l" tanto como queramos. ("tanto como queramos" es una expresión que nos indica que la aproximación será tanto mayor cuantos máselementos tomemos de la sucesión).

Ejemplo 1:

Consideremos la función y tratemos de calcular su límite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesión an = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a quévalor se aproxima f(an), para ello construimos la siguiente tabla:

an

1

1,9

1,99

1,999

1,9999

1,99999

1,999999

.....

2

f(an)

-2

-29

-299

-2999

-29999-299999

-2999999

.....



Parece que los valores de la función se aproximan, tanto como queramos a menos infinito, pero nos preguntamos ¿Qué ocurriría si la sucesión elegida fuesedecreciente, en lugar de creciente, veámoslo:

an

3

2,1

2,01

2,001

2,0001

2,00001

2.000001

....

2

f(an)

4

31

301

3001

30001

300001

3000001

....Ahora los valores se aproximan a más infinito.

Es decir, si la sucesión tiende a 2 pero conservándose todos sus términos menores que 2, la función tiende a un límite y si los valores de lasucesión se conservan todos mayores que dos la función tiende a otro distinto. Afirmamos que no existe límite en el punto 2 para la función dada.

Ejemplo 2

Calcular el límite

Vamos a procedercomo antes con una sucesión creciente y otra decreciente que se aproximen ambas a 3 tanto como queramos:

an

2,1

2,9

2,99

2,999

2,9999

2,99999

2,999999

....

3

f(an)31

4,3333

4,0303

4,0030

4,0003

4,00003

4,000003

....

4

Y para una decreciente:

an

4

3,1

3,01

3,001

3,0001

3,00001

3,000001

....

3

f(an)...