contador

Métodos cuantitativos.
XIII. ÁLGEBRA (Complementario).
Números naturales, enteros, y racionales
Números Naturales
Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar.
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:
Al conjunto de los números naturales pertenecen el 0 y el 1.
Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otronúmero natural.
Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito.
Las propiedades enunciadas anteriormente constituyen el Axioma de Inducción Completa.
Números Enteros
El conjunto de números enteros, es también infinito.
Son parejas de números naturales (x,y), cuya resta x-y define un número entero.
Por ejemplo: la pareja (7,3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4.la pareja (2,4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2.
Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos.
Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc.
Números Racionales
Elconjunto de números racionales está integrado por parejas de números enteros cuyos elementos se dividen entre sí.
A este conjunto también pertenece el 0, que está definido por todas aquellas fracciones que tienen al 0 por numerador.
Los racionales serán positivos o negativos según sea el signo de cada uno de los integrantes de las parejas que los definen.
Así será que parejas de enteros de igualsigno definirán un racional positivo; y parejas de enteros de distinto signo definirán un racional negativo.
No existen racionales cuyo denominador sea 0.
Números Reales
El campo de los números reales es más amplio que el de los racionales; ya que incluye números que no están formados por parejas de enteros. Por ejemplo la relación que existe entre una circunferencia y su diámetro (número p) noes un racional.
Se trata de un conjunto también infinito.
Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real.





Conjuntos
1. Conjuntos.
"Por conjunto se entiende una agrupación en un todo de objetos bien distintos de nuestraintuición o de nuestro pensamiento". Esta definición pertenece a Cantor, creador de la teoría de conjuntos.
Sin embargo, esta definición carece del rigor matemático necesario. Para evitar esto se requiere una axiomática. Existen varias axiómaticas para definir que es un conjunto. A continuación, se expone la axiomática de Zermelo-Fraenkel:
b. Dos conjuntos son iguales, si y solamente, si tienenlos mismos elementos.
c. Existe un conjunto sin elementos (conjunto vacío).
d. Si A y B son dos conjuntos, existe un conjunto cuyos únicos elementos son A y B.
e. La reunión de un conjunto de conjuntos es un conjunto.
f. Existe un conjunto A, del cual el conjunto vacío es elemento, y que es tal que si a pertenece a A, la reunión de a y de {a} pertenece a A (implica la existencia deconjuntos infinitos).
g. Para toda relación R de la teoría y para todo conjunto A existe un conjunto B, que tiene por elementos los elementos de A que satisfacen a R.
h. Para todo conjunto A existe un conjunto que tiene por elementos las partes de A.
i. El producto de una familia de conjuntos no vacíos es un conjunto no vacío (axioma de elección).
j. Ningún conjunto es elemento de sí mismo.Observación: Para representar un conjunto siempre se utilizan letras mayúsculas (A,B,C,...).
Existen dos formas de determinar un conjunto:
1. Método de enumeración: Consiste en escribir todos y cada uno de los elementos que forman el conjunto. Ej.: A={1,2,3}.
2. Método de caracterización: Consiste en determinar los elementos de un conjunto exigiéndoles que verifiquen una ó más propiedades....