contaduria publica

Unidad 1

UNIDAD UNO
1.Sistema de los números reales
“En las matemáticas es donde
el espíritu encuentra los elementos
que más ansía la continuidad y la
perseverancia”.
Jacques Anatole

Palabras Clave
Números reales, reales, números, operaciones entre reales, propiedades.

Introducción
Usualmente nos encontramos con preguntas como ¿cuántos hay?, o,
¿cuánto mide?… La respuesta aestos interrogantes con certeza es un
número que en muchas ocasiones requiere de procedimientos matemáticos
para encontrarlo.
Históricamente, los primeros números empleados fueron los naturales pues
estos surgieron de la necesidad de contar; diferentes culturas empleaban sus
propios instrumentos para registrar unidades, decenas, centenas, etc. La
acción de medir, conlleva luego a compararmagnitudes (magnitudes

Módulo de Matemáticas
Nidia Mercedes Jaimes Gómez

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conmensurables), dando así origen a los números racionales positivos y las
magnitudes inconmensurables halladas por los pitagóricos dan origen a los
números irracionales, surgen después los números negativos, empleados por
los hindúes para representar deudas y los números imaginarios de la
necesidad de encontrarsoluciones a las ecuaciones algebraicas.

1.1 Desarrollo temático
1.1.1 Construcción de los números reales
Esta es una representación gráfica del conjunto de los números reales, los
subconjuntos que lo constituyen y las relaciones entre ellos.

R



Conjunto de los números naturales:

N = { 0,1, 2, 3, 4,...}


Conjunto de los números enteros :

Z = ...,4  3,2  1, 0, 1, 2, 3,4, ... 

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Observe que este conjunto contiene al conjunto de los números naturales
agregando los opuestos respectivos. Es decir si 1, 2, 3, 4,… son enteros, sus
opuestos −1, −2, −3, −4,… también lo son (el opuesto del cero es el mismo
cero).


Conjunto de los números racionales

Los números racionales se caracterizan porque sepueden expresar como
fraccionarios con numerador y denominador enteros, con la condición de
que el denominador debe ser diferente de cero.
Son ejemplos de racionales

3 1 4 0
, ,
,
4 2 1 17

donde sus numeradores son

respectivamente −3, 1, 4, y 0 mientras que los denominadores son 4, 2, 1 y 17
respectivamente.
Los números racionales también se pueden representar en forma decimalinfinita periódica.
Ejemplos:

3
 0.75  0.750000...
4

Es un decimal infinito periódico de periodicidad cero.

5
0.833333... Es un decimal infinito periódico. En este caso se nota el decimal
6

así:
0.833333... 0.83

En este conjunto no se pueden listar sus elementos en forma consecutiva
como se hizo con los conjuntos anteriores, puesto que entre dos números
racionalessiempre se encuentran infinitos racionales (esta propiedad no la
tienen los anteriores conjuntos numéricos)
Se define entonces al conjunto de los números racionales así:

a

 a, b  Z , b  0
Q = b

Observe que este conjunto contiene tanto al conjunto de los números
naturales como al conjunto de los números enteros.

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Conjunto de los números Irracionales : I

Este conjunto contiene elementos numéricos que se expresan como
decimales infinitos no periódicos.
Ejemplos:
21.41421356... Es decimal infinito pero no periódico (ninguna serie de
números se repite con frecuencia)

π  3.1415926...
e 2.71828...

De acuerdo con las anteriores definiciones, podemos afirmar que NO existe
un real que sea racional eirracional a la vez, es decir los conjuntos numéricos
racionales e irracionales NO tienen elementos en común, por lo tanto se dice
que son conjuntos disjuntos.


Conjunto de los números reales: R

Este conjunto es la unión de los conjuntos anteriores, es decir

Ejemplos:



115 es un natural por lo tanto es un número real
−6 es un número entero que NO es natural



7
es un...