contaduria publica

Cap´
ıtulo 3
Optimaci´n de funciones de
o
varias variables
3.1.

El polinomio de Taylor.

Es conveniente, para simplificar el desarrollo que sigue, designar las variables independientes por x1 y x2 . Sea f una funci´n de clase n en un entorno
o
de a = (a1 , a2 ) ∈ D. Se definen las diferenciales de f en el punto a por
df (a; h1 , h2 ) =

∂f
∂f
(a)h1 +
(a)h2 ,
∂x1
∂x2

d2 f (a;h1 , h2 ) =
=

∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
(a)h2 + 2
(a)h1 h2 + 2 (a)h2 ,
1
2
∂x2
∂x1 ∂x2
∂x2
1

la diferencial de orden k tiene la forma
dk) f (a; h1 , h2 ) =
=

∂kf
(a)hi1 hi2 · · · hik ,
∂xi1 ∂xi2 ....∂xik

69

extendi´ndose la suma anterior a todas las derivadas parciales de orden k
e
de f . Conviene recordar que f posee derivadas parciales de cualquier orden
independientes delorden de derivaci´n. As´ por ejemplo, son iguales
o
ı,
∂ 2f
∂ 2f
(a) =
(a).
∂x1 ∂x2
∂x2 ∂x1
Es importante destacar que s´lo la diferencial primera tiene un signifio
cado preciso para nosotros, mientras que las diferenciales de orden superior,
dk) f (a; h1 , h2 ), ser´n una mera notaci´n que nos permitir´ expresar de una
a
o
a
forma simple los resultados relacionados con el polinomiode Taylor.
Se define el polinomio de Taylor de orden n de f en el punto a por
n

Tn,a (x1 , x2 ) =
k=0

1 k)
d f (a; x1 − a1 , x2 − a2 ).
k!

Sus primeros t´rminos tienen la forma
e
Tn,a (x1 , x2 ) = f (a) +
+

∂f
(a)(x1 − a1 )+
∂x1

∂f
1 ∂2f
(a)(x2 − a2 ) +
(a)(x1 − a1 )2 +
∂x2
2! ∂x2
1

∂ 2f
(a)(x1 − a1 )(x2 − a2 )+
∂x1 ∂x2
∂2f
+ 2 (a)(x2 − a2 )2 + · · · .
∂x2Se demuestra que es el unico polinomio de grado menor o igual que n, en las
´
dos variables x1 y x2 , que verifica que es nulo el siguiente l´
ımite
+2

l´
ım

(x1 ,x2 )→(a1 ,a2 )

f (x1 , x2 ) − Tn,a (x1 , x2 )
(x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2

n.

Por tanto, el error que se comete al aproximar f (x1 , x2 ) por Tn,a (x1 , x2 ) es un
infinit´simo de mayor orden que la potencia n-´sima de ladistancia de (x1 , x2 )
e
e
a (a1 , a2 ). Por ello, tomando n adecuadamente grande, se puede conseguir una
buena aproximaci´n en las cercan´ de (a1 , a2 ).
o
ıas
70

Ejemplo 3.1.1. Obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de f (x, y) =
ex sen y en el origen.
Empezamos calculando las derivadas parciales de primer orden: fx (x, y) =
x
e sen y y fy (x, y) = ex cos y. Seguidamentecalculamos las de orden dos:
fxx (x, y) = ex sen y,
fyy (x, y) = −ex sen y
fxy (x, y) = fyx (x, y) = ex cos y
(hemos usado el hecho de que f es obviamente de clase dos en R2 y, por
tanto, las derivadas cruzadas coinciden).
Como nos piden el polinomio de Taylor en el origen, las evaluamos en
el punto (0, 0): fx (0, 0) = 0, fy (0, 0) = 1, fxx (0, 0) = 0, fyy (0, 0) = 0 y
fxy (0, 0) = fyx (0, 0)= 1.
1
Por tanto, T2 (x, y) = y + 2! (2xy) = y + xy.
En la figura siguiente est´n representadas las superficies z = ex sen y (en
a
rojo) y z = y + xy (en verde). Puede apreciarse que est´n pr´ximas en las
a
o
cercan´ del origen.
ıas

71

3.2.

La f´rmula de Taylor.
o

Vamos a ver que, exigiendo un poco m´s a la funci´n, se puede conseguir
a
o
una representaci´n expl´
o
ıcitade la diferencia
f (x1 , x2 ) − Tn,a (x1 , x2 ).
Para simplificar el enunciado del Teorema correspondiente, necesitamos
72

introducir la siguiente notaci´n.
o
Si a = (a1 , a2 ) y b = (b1 , b2 ) son dos puntos de R2 , el conjunto formado
por los puntos de la forma x(t) = a + t(b − a) (t ∈ (0, 1)) se denota por
L(a, b) y recibe el nombre de segmento abierto de extremos a y b.

x2

ba+t(b-a)
a
(0 0,
para cada (h1 , h2 ) = (0, 0). De forma an´loga, una forma se dice definida
a
79

negativa si Q(h1 , h2 ) < 0, para cada (h1 , h2 ) = (0, 0). Por ultimo, se dir´
´
a
que Q(h1 , h2 ) es una forma indefinida si toma valores positivos y negativos.
Ahora, para conectar con la idea que est´bamos desarrollando acerca de
a
que el signo constante de la diferencial segunda en...