Contaduria

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
UNIDAD II. LA DERIVADA: ESTUDIO DE LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO
1. Cono de arena. En un estanque de forma de cono circular recto de radio R y altura H se deja caer
arena de tal forma que a medida que se llena el estanque se forman dos conos con alturas h1 y h2
las cuales están en la relación h1 : h2 :: 1 : 3. Si se deja caer a A metros cúbicos por segundo ¿conque velocidad sube el extremo superior de la pila de arena cuando la punta de la pila es H?
2. Problema del Barco y el Faro. Un Barco navega paralelamente a una costa recta a una velocidad
de 20 kilómetros por hora y a una distancia de 6 kilómetros de la costa. ¿Cuál es la velocidad de
aproximación a un faro de la costa en el instante en que disten 8 kilómetros al faro?
3. Cono con Agua. Untanque cónico de 3 metros de altura y 2 metros de diámetro en la tapa se
llena con agua a una razón constante. Al encontrar el nivel a media altura, la razón de cambio de
esta altura es de 30 cm/min. ¿Cuánto tardaría en llenarse el tanque?
4. Llenando la Piscina. La orilla de una piscina es un rectángulo de 20 pies de largo y 10 pies de
ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 1.20 metros a2.70 metros en un tramo
horizontal de 12 metros y después continúa al mismo nivel los 8 metros restantes. La piscina se
está llenando a razón de 130 litros/minuto de agua. Calcule, aproximadamente, la rapidez de
cambio del nivel del agua en el momento en que la profundidad en la parte más honda es de
1.20 metros, 1.50 metros y 1.80 metros.
5. Una escalera de 10 m de longitud está apoyadacontra un muro vertical. Si su base se empuja
horizontalmente lejos de la pared a 2 m/s, ¿cuál será la rapidez con la que resbalará la parte
superior de la escalera cuando la base esté a 4 m del muro?
6. Una bola de nieve se forma de manera que su volumen aumenta a razón de 8 cm3/min. Calcula la
rapidez con la que el radio aumenta cuando la bola de nieve tiene 5 cm de diámetro.
7. SeaP(t)=15e0.048t la cantidad, en millones de habitantes, t años después de 1980.
a. Encuentre la razón promedio de cambio de 1987 a 1990.
b. Encuentre la razón promedio de cambio de 1987 a 1988.
c. Aproxime, a centésimas, la razón a la que crece la población en 1987.
8. Considere los datos de la población total del país que proporciona el INEGI
1895
1900
1910
1921
1930
12 700 294
13 607 259
15 160369
14 334 780
16 552 722

1940
19 653 552

1950 a/
1960
1970
1980
1990
1995
2000
25 791 017 34 923 129 48 225 238 66 846 833 81 249 645 91 158 290 97 483 412
a. ¿Cuál será la razón de cambio promedio de la población de México?
b. ¿Cuántas personas vivirán en el país en el año 2010?
c. Si de 640 personas que se han encuestado, solamente 20 han obtenido la Licencia de
Conductor deVehículos Motorizados, ¿Cuántos se estima que tienen licencia en México?
9. Si una Compañía de Seguros registró 50 "siniestros" el año pasado en un conjunto de 12000
clientes. ¿Cuál es la "tasa de accidentes"?
10. Supongamos que Martín Gramática (pateador de fútbol americano de los Bucaneros de Tampa
Bay), tiene que anotar un gol de campo decisivo. Si la trayectoria del balón está definidapor la
ecuación y = x – 0.02x2. Determine:
a. La trayectoria del Balón.

b. La distancia horizontal que recorre el balón.
c. ¿Cuál es el Valor de x para que el balón alcance su máxima altura?
d. La ecuación que indica la razón del cambio instantáneo de la altura respecto al cambio
horizontal en x = 0, 10, 15, 20, 25, 30, 50.
e. ¿Cuál es la razón del cambio instantáneo de la altura cuando elbalón alcanza su altura
máxima?
11. Suponga que un auto viaja a lo largo de un camino recto a velocidad constante de 60 km/h. La
velocidad del auto en el tiempo t (en horas) está dada por la función constante v(t) = 60 cuya
gráfica es una recta horizontal. ¿cuántos kilómetros recorre el auto entre t = 1 y t = 7?
12. Determina la razón de cambio del área de un triángulo equilátero respecto...