CONTAMINACI N DE UN LAGO 22

CONTAMINACIÓN DE UN LAGO
Este ejemplo es acerca del uso de ecuaciones diferenciales para modelar contaminación en un lago debido al vertido de contaminantes.
Modelar contaminación de un lago puede ser complicado, porque hay muchos factores diferentes que pueden ser tomados en consideración. Usaremos un modelo simplificado, y consideraremos sólo a unos cuantos factores básicos, que describimos acontinuación.

4.3.1    Modeamiento del Sistema

Figura 4.14.  Lago como un modelo de flujo bien mezclado
Donde:
Q : Flujo volumétrico a través del lago
V : Volumen del lago
k (t ) : Coeficiente de velocidad de reacción del contaminante
C (t ) : Concentración del contaminante tanto dentro como en la salida del lago
Cin(t ) : Concentración del contaminante entrando al lago 
Aplicando el balancede masa de un contaminante al estado no estacionario, se tiene:
           Acumulación = Entrada – Salida – Desaparición por reacción 

        La Ecuación. (4.24) es el  modelo matemático para la concentración de contaminación en un lago. El volumen V de agua en el lago - se asume - a ser constante. El contaminante es llevado al lago por un flujo entrante de agua a una tasa Q (volumen por unidadde tiempo) y con una concentración Cin (masa por unidad de volumen). Hay un flujo de salida correspondiente a una tasa Q desde el lago, y esta salida tiene la misma concentración C de contaminante que en el lago (como es el caso para un lago de mezcla completa). C y Cin  dependerán del tiempo. Tenemos en cuenta una reacción química, con constante de velocidad k, en la cual el contaminante en ellago se descompone en otras sustancias que no son de ninguna preocupación.
Aquí hay algunos escenarios para lo que ocurre en el lago, conjuntamente con las elecciones que deberemos hacer para simular cada escenario. Seleccionamos "No Reacción [k(t ) = 0] " si la reacción de descomposición es insignificante, y escogemos  "Constante de velocidad de reacción de Primer Orden [k(t ) =k, para la constantek]"  si se tienen cualesquiera de los dos casos en las simulaciones.










4.3.3  Caso 1: Vertido instantáneo de contaminantes
 Un pescador participaba de su actividad favorita (la pesca, por supuesto!) en su lugar favorito el lago local, donde la única corriente de salida va a un río.
Desafortunadamente, se quedo sin combustible y cuando llevaba el combustible de repuesto para su motor fuerade borda, tropezó y dejó caer el tanque por la borda. Como consecuencia, 10 galones de gasolina casi instantáneamente fueron distribuidos en el lago que contiene 898,800 galones y del cual salen 89,880 galones /día de agua pura hacia un río.
Cuando el pescador contactó las autoridades apropiadas, y cuando las autoridades desconectan el flujo de salida del lago, han pasado cuatro días. Por lo quelas autoridades están preocupadas por la cantidad de gasolina que ha salido del lago y cortaron el flujo de salida del lago mientras se toman las acciones respectivas. Si se escaparón 1 000 000 mg o más de gasolina, entonces la concentración en la corriente saliente será demasiado alta para los estándares aceptables y medidas muy costosas tendrán que ser tomadas para limpiar la corriente. Siescapó menos de eso, entonces sólo tienen que preocuparse por limpiar el lago.

¿Cuánto de gasolina todavía se queda en el lago, y hará que la corriente saliente tenga que ser remediada?




































Solución
Para encontrar la respuesta, primero deberíamos decidirnos cómo debemos modelar la entrada (el derramamiento de gasolina). Si lo modelamos como
Un Impulso,
Un escalón
Ouna función sinusoidal
La solución correcta en este caso es la función de impulso, ya que toda la gasolina entra en el reservorio al mismo tiempo. En muchas aplicaciones, puede ser más difícil decidir cuál modelo usar, pero en este caso debería ser claro que un modelo de impulso es más conveniente.
También necesitamos decidir qué clase de reacción ocurre. (En este ejemplo, consideramos...