Contenido Ma3b06 Tema2 6

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LECCIÓN 9: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN REDUCIBLES A EXACTAS.

JUSTIFICACIÓN

En esta lección, centraremos nuestro estudio en aquellas ecuaciones
diferenciales que no siendo exactas pueden transformarse en exactas, multiplicando la
educación diferencial por una función conveniente denominada factor integrante.

OBJETIVOS:

El estudiante podrá:

1- Identificar si lafunción dada no es exacta.

2- Determinar un factor integrante (esto es, determinar una función tal que, al
multiplicar la ecuación diferencial dada por dicha función, la ecuación diferencial se
transforme en exacta.

3- Obtener la solución general de la ecuación diferencial ordinaria de primer
orden reducible a exacta

PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE.

INTRODUCCIÓN:

¿Qué aspectosestudiamos en la lección 8?

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♦ Estudiamos algunos conceptos relacionados con la teoría de diferenciales de
funciones de dos variables.

¿Cuáles fueron esos conceptos?
♦ Las derivadas parciales de una función, de diferencial total, la diferencial
exacta.
Bien. Si por ejemplo les doy F(x,y) = 2yx2 + xe-y ¿Cuáles son sus derivadas
parciales de primer orden?
♦ Las derivadas parciales de primer orden parala función dada son
∂F( x , y)
= 4 yx + e − y
∂x

∂F( x, y)
= 2x 2 − xe − y
∂y

Muy bien. ¿Quién es la diferencial total de F(x,y)?
♦ La diferencial total viene dada por la ecuación
⎡ ∂F( x, y) ⎤
⎡ ∂F( x , y) ⎤
dx + ⎢
dF (x, y) = ⎢
⎥ dy
⎥
⎣ ∂x ⎦
⎣ ∂y ⎦
por lo tanto, para la función F(x,y) = 2yx2 + xe-y la diferencial total es
dF(x,y) = ( 4 yx + e − y ) dx + ( 2 x 2 − xe − y ) dy

¿Cómo sedenomina la expresión ( 4 yx + e − y ) dx + ( 2 x 2 − xe − y )dy? ¿por qué?

♦ La expresión ( 4 yx + e − y ) dx + ( 2 x 2 − xe − y )dy, se denomina diferencial exacta
ya que representa la diferencial total de la función F(x,y) = 2yx2 + xe-y

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Correcto. ¿Qué otro aspecto analizamos?
♦ Una proposición, la cual establece un criterio, que nos permite determinar
cuando la expresión P(x,y) dx + Q(x,y) dy,es una diferencial exacta.

Muy bien. ¿Qué dice esa proposición?
♦ La proposición dice que si P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas y
diferenciables, entonces P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta, si y sólo si
⎛ ∂P( x , y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠

¿Qué nos permite llegar a esa conclusión?
♦ El hecho de que si P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta,entonces
⎛ ∂F( x, y) ⎞
existe F(x,y), tal que ⎜
⎟ = P(x,y)
⎝ ∂x ⎠

⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = Q(x,y) además, como
⎝ ∂y ⎠

P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas y diferenciables, entonces las derivadas
cruzadas de segundo orden de F(x,y) son iguales, esto es:

∂ 2 F( x, y) ∂P( x, y) ∂ 2 F( x, y) ∂Q( x, y)
=
=
=
∂x
∂x∂y
∂y
∂y∂x
⎛ ∂P( x, y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞
⎟⎟ = ⎜
de aquí que ⎜⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠

Excelente.¿Qué otro aspecto estudiamos en esa lección?
♦ Estudiamos los pasos a seguir para obtención de la solución general de una
educación diferencial exacta.

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¿Cómo chequean si la ecuación diferencial dada P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, es
una ecuación diferencial exacta?
♦ Probando que la expresión P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta, es
⎛ ∂P( x , y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞
⎟⎟ = ⎜
decir, quesatisface la proposición: ⎜⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠

Muy bien. ¿Podrían mencionarme los pasos a seguir en la obtención de la
solución general?
♦ Suponer que existe una función F(x,y) tal que
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = Q (x, y).
⎝ ∂y ⎠

⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜
⎟ = P(x,y)
⎝ ∂x ⎠

♦ Tomar una de esas dos derivadas parciales e integrarla parcialmente, digamos
⎛ ∂F( x, y) ⎞
por ejemplo: ⎜
⎟ = P (x, y) se integra parcialmenterespecto de "x", en cuyo
⎝ ∂x ⎠

caso se asume “y” como constante

∫

∂F( x , y)
∂x =
∂x

x

x

∫ P(x, y) dx

⇒

y = ctte

F(x,y) =

∫ P(x, y) dx + h (y)

y = ctte

♦ La función F(x,y) obtenida en el paso anterior se deriva parcialmente respecto
de “y”:
∂F( x , y)
=
∂y

⎡ x
⎤
⎛ dh ( y) ⎞
∂ ⎢
⎟
P( x , y)dx ⎥ + ⎜⎜
⎥ ⎝ dy ⎟⎠
∂y ⎢
⎣ y =ctte
⎦

∫

♦ Este resultado se compara con Q (x, y)

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⎤
⎡ x
⎛...