Conteo 2008

TÉCNICAS DE CONTEO
Fundamentos de la Matemática

1 Principios de la Adición y la Multiplicación
Supongamos que este sábado queremos ir al cine, o al teatro, pero no ambas cosas a la vez. Si se exhiben 12 películas y 8 obras de teatro ¿cuántas posibilidades o decisiones tenemos? Podremos elegir una de las 12 películas o una de las 8 obras de teatro; en total tendremos 12+8=20 posibilidades.Este ejemplo ilustra nuestro primer principio de conteo.

1.1 Principio de la Adición (o Regla de la suma)
Si una tarea o acción puede realizarse de m formas diferentes, y otra tarea o acción puede realizarse de n formas diferentes, pero de modo que no es posible realizarlas simultáneamente, entonces, tendremos m+n formas diferentes de realizar una de ellas. El enunciado anterior se puedegeneralizar de la siguiente forma: Si disponemos de n acciones o tareas, y cada una de ellas puede realizarse respectivamente de a1, a2,…..an formas diferentes, para llevar a cabo una sola cualquiera de ellas tendremos
n

∑a
1

i

formas distintas.

Ejemplo 2
Supongamos que este sábado queremos ir al teatro y luego a cenar. Si se exhiben 4 obras de teatro y hay 5 restoranes ¿cuántasposibilidades de elección tenemos? Tenemos 4 posibilidades de elegir una obra de teatro y por cada una de ellas tenemos 5 posibilidades de elegir un restorán. Tendremos entonces, 4 ⋅ 5 = 20 posibilidades de ir al teatro y luego cenar. Este tipo de problemas puede visualizarse mediante un Diagrama de Árbol. Los

diagramas de árbol son muy útiles para resolver o analizar algunos tipos de problemas deInstituto de Profesores “Artigas”

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conteo. La figura a continuación muestra el diagrama de árbol correspondiente al ejemplo anterior:
Restorán 1 Restorán 2 Obra de Teatro 1 Restorán 3 Restorán 4 Restorán 5 Restorán 1 Restorán 2 Obra de Teatro 2 Restorán 3 Restorán 4 Restorán 5 Restorán 1 Restorán 2 Obra de Teatro 3 Restorán 3 Restorán 4 Restorán 5 Restorán 1Restorán 2 Obra de Teatro 4 Restorán 3 Restorán 4 Restorán 5 (O1, R1) (O1, R2) (O1, R3) (O1, R4) (O1, R5) (O2, R1) (O2, R2) (O2, R3) (O2, R4) (O2, R5) (O3, R1) (O3, R2) (O3, R3) (O3, R4) (O3, R5) (O4, R1) (O4, R2) (O4, R3) (O4, R4) (O4, R5)

Es fácilmente observable que en los extremos de las últimas ramas tenemos todos los casos posibles, por lo cual es muy sencillo contarlos. El ejemplo anteriormuestra lo que llamaremos segundo principio de conteo:

1.2 Principio de la Multiplicación (o Regla del producto)
Si un procedimiento o actividad puede descomponerse en las etapas primera y segunda, y existen m resultados posibles para la primera etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total puede realizarse,en el orden dado, de m·n formas.

El enunciado anterior se puede generalizar fácilmente para los casos en que se consideren tres o más descomposiciones.

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1.3 Arreglos simples y con repetición
Para extraer dinero de un cajero automático, uno de los pasos que debemos seguir es introducir una clave de cuatro dígitos ¿cuántasclaves distintas son posibles? Son sin duda claves distintas 6348, 5721 y 5723. También son claves distintas 3051 y 0351, y aquellas que tengan dígitos repetidos, por ej. 4888 y 3311. Aplicaremos el principio de la multiplicación para calcular el número de posibles claves distintas. Tenemos 4 posiciones para colocar los números. En la primera posición podemos colocar cualquiera de los 10 dígitos ypor cada uno podemos colocar 10 dígitos en la segunda posición, razonando análogamente para las 3ª y 4ª posiciones se tiene:
10 · 10 · 10 · 10 = 10
4

a a a 1a posición 2 posición 3 posición 4 posición

Por lo tanto son posibles 104 o 10.000 claves distintas. Diremos que estas claves son los arreglos con repetición de orden 4 obtenidos a partir del conjunto de los dígitos,

{0,1,2, 3, 4,...