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6.2  Posiciones relativas de dos planos

Página web con conceptos e ideas de planos para 2º de Bachillerato Ciencias

Para ver la posición de dos planos podemos hacerlo de dos formas, aplicando la proporcionalidad de los coeficientes de las ecuaciones de los planos o por rangos.

Aplicando la proporcionalidad de los coeficientes



         

Posición de dos planos aplicandorangos

Formamos la matriz de los coeficientes y la ampliada de las ecuaciones de los planos dadas en forma general y estudiamos los rangos.



Casos
Rango de M
Rango de M*
Posición planos
1
2
2
Planos secantes
2
1
2
Planos paralelos
3
1
1
Planos coincidentes

Caso 1
El sistema es compatible indeterminado. Los planos se cortan en una recta. Es la forma de expresar la ecuaciónde una recta en forma general o implícita como intersección de dos planos.

Caso 2
El sistema es incompatible no tiene soluciones. Los planos son paralelos y distintos. No tienen ningún punto en común.

Caso 3
El sistema es compatible indeterminado. Los planos son coincidentes.

Ejemplo



Haz de planos paralelos



Ejemplo---------------------------------------------------------------------

Dados los planos:


Y sean:
r = rango de la matriz de los coeficientes.
r'= rango de la matriz ampliada.
Las posicones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:




Posición
r
r'
 
Secantes
2
2

Paralelos
1
2

Coincidentes
1
1




Ejemplos
1. Estudiar la posición de los siguientes planos:



Como élsistema es compatible indeterminado, los dos planos son secantes , es decir, se cortan en la recta:




2. Estudiar la posición de los siguientes planos:


Los dos planos son paralelos.

3. Estudiar la posición de los siguientes planos:


Los dos planos son coincidentes.
















POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS:

Dos planos pueden tomar las siguientes posicionesrelativas en el espacio: coincidentes, paralelos y secantes.



Dos planos coincidentes tienen puntos en común.
Dos planos paralelos no  tienen puntos en común.
Dos planos secantes tienen una recta en común.          
       
DADAS DOS ECUACIONES DE DOS PLANOS EN FORMA IMPLÍCITA ¿CÓMO PODEMOS SABER SI SON COINCIDENTES, PARALELOS O SECANTES?
Existen varios procedimientos sencillos parasaberlo.
Vamos a estudiar dos modos de dar respuesta.
1) Supongamos dos ecuaciones de dos planos en forma implícita:

Si los coeficientes de cada variable de la primera ecuación, incluidos los términos independientes, con relación a los de la segunda son proporcionales, los planos son coincidentes:

Si los coeficientes de cada variable de la primera ecuación, con relación a los de la segundason proporcionales, pero NO SUCEDE la proporcionalidad con los términos independientes, los planos son paralelos:

Cuando no se den los dos casos anteriores, es que los planos se cortan formando una línea. Se tratan de planos secantes.
 
 
23.13  Los planos:
son:
Respuesta: Secantes
 
 
23.14  Los planos:
son:
Respuesta: Paralelos
Solución
Los términos independientes no guardanla proporcionalidad de las variables.
 
 
23.15  Los planos:
son:
Respuesta: Coincidentes
Solución
La segunda ecuación multiplicada por es igual a la , eso quiere decir que los valores de cada término homólogo, son proporcionales:

 
 
23.16  Los planos:
son:
Respuesta: Secantes
Solución
Los signos de la variable  son opuestos.
 
 
23.17  Los planos:
son:
Respuesta:Paralelos
 
 
 
 
 

 

Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:

1. Secantes.

2. Coincidentes.

3. Paralelos.

Sean dos planos     y     de ecuaciones:





Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos, cuyas matrices asociadas son:



Según el teorema de Rouché-Fröbenius, se...