Continuidad (Cálculo Diferencial)

CONTINUIDAD.

Se dice que una función es contínua cuando es posible hacer su gráfica sin separar el lápiz del papel. Esta definición coloquial de continuidad permite establecer una idea intuitivade su significado.

Al obtener el , se busca aproximarse al valor de x=a más no llegar a ese punto, esto es, acercarcarse mucho pero manteniendo . Puede ser que el límite de una función existaaún cuando la función no está definida en ese punto.


Una función es contínua en un número a si se cumplen los siguientes requisitos:
f está definida en un intervalo abierto que contiene al númeroa
el existe, y



Ejemplo 1.

Sea la función . Determinar si es contínua.

La función no está definida en cero, por lo tanto, existe un intervalo abierto que contiene a 0 en el cual lafunción NO está definida y, entonces, no es contínua, es discontínua.

Ejemplo 2.

Sea la función . Determinar si es contínua.

Este polinomio está definido para todos los números reales, por lotanto, lo está para un intervalo abierto cualquiera, sin restringir a un valor particular de a. Se cumple el primer requisito, entonces, hay que analizar el límite a un valor arbitrario a.



Ellímite cuando existe y su valor es el mismo que la función evaluada en el punto x=a. El polinomio es contínuo.


Ejemplo 3.

Sea la función . Determinar si es contínua.

Esta es una funciónpor partes que está definida para todo número real. Hay un cambio de comportamiento en el punto x=0, por lo tanto, habrá que analizar lo que pasa en dicho punto. Dado que el comportamiento a laizquierda y a la derecha de x=0 es diferente, se utilizarán los límites unilaterales.



Dado que los límites unilaterales tienen el mismo resultado, se dice que . Por lo tanto, el límite cuandoexiste y vale 3. Ahora, falta hallar el valor de la función en el punto x=0, se evalúa y . Se cumplen los tres requisitos para la continuidad: la función es contínua.

Ejemplo 4.

Sea la...