Continuidad de una funcion

I. TITULO DEL TRABAJO: Continuidad de una función

II. CONTENIDO:

a) Función continúa:
Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos ocuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”.
Así mismo se puede decir que una función f (x) es continua para x = a si el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor de la funciónpara x = a.

a.1) En un punto:
Se dice que una función f (x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

i. Que el punto x= a tenga imagen.
ii. Queexista el límite de la función en el punto x = a.
iii. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

NOTA: Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = asi: el límite de la función, cuando x tiende a a es positivo; y Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si: si el límite de la función, cuando x tiende a a es negativo.

a.2)En un intervalo:
Se dice que una función f (x) es continua en un intervalo cuando se continua para todos los valores de x dentro de este intervalo.
i. Una función f (x) es continua en un intervaloabierto si y sólo si, f (x) es continua en todo punto del intervalo.
ii. Una función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si y sólo si, f (x) es continua en el intervalo abierto(a, b), continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera delas formas: (a, b] ó [a, b).

a.3) Totalmente continúa:
Una función absolutamente continua es continua, y además verifica las siguientes propiedades
(Royden, 1968):
• Si x (•) es absolutamentecontinua sobre [a, b] entonces es de variación acotada sobre [a, b].
• Si x (•) es absolutamente continua tiene derivada en casi todo punto.
• Si x (•) es absolutamente continua sobre [a, b] y x´0...