Continuidad de una funcion

TEMA 3: continuidad.
Teoremas sobre funciones continuas

1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral.
2.- Continuidad en un intervalo.
3.- Operaciones con funciones continuas
4.- Discontinuidades. Tipos.
5.- Teoremas sobre funciones continuas.


1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral.

Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar ellápiz del papel. Los puntos en que haya que levantar el lápiz se llaman puntos de discontinuidad.

[pic] [pic] [pic] [pic]

En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x0. (en este caso, para x0=2)


En la primera figura la función no es continua porque desde los dos lados no vamos hacia el mismo punto, es decir, noexiste [pic].
En la segunda figura sí van hacia el mismo sitio, pero falta (no existe) el punto de unión entre los dos trozos o ramas, que sería f(x0).


En la tercera existe ese punto de unión f(x0) pero no está colocado en el sitio adecuado: [pic].


Y por último, en la cuarta figura todo está bien y la función es continua.


A la vista de esto podemos dar ladefinición formal de función continua en un punto.
Así, diremos que una función f(x) es continua en un punto x0 si cumple las tres condiciones siguientes:
[pic]
Nota: Existen otras formas equivalentes de dar la definición.

Por ejemplo: una función f(x) es continua en un punto a si:


1. Existe el límite de la función f(x) en x = a.
2. La función está definida en x = a;es decir, existe f(a)
3. Los dos valores anteriores coinciden.

O también, Si tenemos en cuenta la definición métrica de límite podemos escribir:

[pic]


Ejemplos:
La función [pic] ¿es continua en el punto x = 3?

Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.

Dada la función[pic], estudiar la continuidad de dicha función en x = 1.

Veamos si se cumplen las condiciones necesarias:
1. [pic]
2. [pic] no existe, pues se anula el denominador.
3. El [pic] no son iguales porque f(1) no existe y, en consecuencia, no se pueden comparar.

Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la continuidaden dicho punto.

Dada la función [pic], estudiar la continuidad de dicha función en x = (1

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:

1. Estudiamos la existencia del [pic]
Como en el punto x = (1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Portanto:
[pic]
[pic]
En consecuencia, existe [pic] pues los límites laterales son iguales.


2. f ((1) = (2
3. [pic]


Luego la función es discontinua en el punto x = (1.


Dada la función [pic], estudiar la continuidad de dicha función en x = 2.

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:
1. Estudiamos laexistencia del [pic]
Como en el punto x = 2 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:


[pic]


[pic]


En consecuencia, no existe [pic] pues los límites laterales son distintos.


2. f (2) = 5Luego la función es discontinua en el punto x = 2.


Continuidad lateral

Cuando una función no es continua en un punto podemos preguntarnos si lo es lateralmente; es decir, si desde algún lado llegamos a f(x0). En concreto:

Una función f(x) es continua por la izquierda en un punto x0 si y sólo si

[pic].

Una función f(x) es continua por la derecha en un punto x0 si y sólo si...