Continuidad De Una Funcion

CONTINUIDAD: Es cuando loa funcion no presenta Interrupciones en su grafica.
DISCONTINUIDAD: son aquellas que tienen un rompimiento en su gráfica.

TIPOS DE DiSCONTINUIDAD:

Basicamente, nos podemos encontrar los siguientes tipos de discontinuidades en un punto :
 Discontinuidad de salto infinito. En este caso la curva tiene alguna "rama infinita" en el punto . Decimos que la curvapresenta una asíntota vertical en el punto .
 Discontinuidad de salto finito: La función da un salto al llegar a . En la gráfica adjunta el valor del salto es la diferencia .
 Discontinuidad evitable (ausencia de punto): La función no está definida en el punto o bien el punto está desplazado.
 Discontinuidad evitable (punto desplazado): La función no está definida en el punto o bienel punto está desplazado.



Definición de límite y continuidad de una función.



Figura 22: Definición de límite según Heine


Es decir que si y sólo si cualquiera sea el entorno de que escojamos, existe un entorno de , que no contiene a tal que (ver la figura 23).

Figura 23: Definición de límite según Weierstrass






Existen cuatro tiposfundamentales de discontinuidad:
Discontinuidad evitable
Esta discontinuidad tiene lugar si existe el límite pero la función en , o no está definida, o no coincide con el límite . Es evitable pues en podemos redefinir la función de la tal forma que .

Figura 24: Función con discontinuidad evitable en .
Discontinuidad no evitable (o escencial) de salto finito
Esta discontinuidad tienelugar si existen los límites laterales y existen pero son diferentes. Por tanto, no existe el límite de en . Además en este caso es imposible redefinir la función de la tal forma que .

Figura 25: Función con discontinuidad de salto finito en .
Discontinuidad no evitable (o escencial) de salto infinito
Esta discontinuidad tiene lugar si alguno de los límites laterales es igual a, o sea, si o . Por tanto, no existe el límite finito de en . Además en este caso también es imposible redefinir la función .

Figura 26: Función con discontinuidad de salto infinito en .
Discontinuidad no evitable (o escencial)
Este caso corresponde cuando la función esta bien definida en todo el entorno de pero no existen los límites laterales (no son siquiera ).

Figura: Lafunción en (izquierda) y en (derecha).
Muy distinto es el caso de la función , , .

Figura: La función en (izquierda) y en (derecha).





Continuidad
f(x)=x2
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
f(x)=sgn x
Encontraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto de límite...
DefiniciónContinuidad
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad
f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0
Sin embargo, simiramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".
Definición
Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).
Definición
Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y...