Continuidad de una funciones


Introducción:

La matemática es de suma importancia para el desarrollo humano y para la realización de muchos problemas de la vida diaria, la matemática se divide en innumerables ramas, cada una dependiente de la otra y entrelazadas en sí, creando así, una de las ciencias más estudiadas del planeta, aplicándose desde condiciones en la vida diaria hasta condiciones como cálculos espaciales.En el presente informe se discutirá en una breve explicación, una sub-rama de la matemática como lo es la continuidad de una función, que no es más que la conexión entre un punto y otro en una gráfica de una función que viene dada desde los valores del eje X y del eje Y.
Además de las continuidades también podemos encontrar lo que son las discontinuidades y todos sus diferentes tipos, estánse pueden entender por algún punto dentro de la función en la cual la gráfica no está conectada entre sí, haciendo que la línea se cote, cuando la gráfica se encuentra en estas condiciones se puede entender por una discontinuidad, además existen otras condiciones de discontinuidad expuestas en el presente informe.











Continuidad de una funcion en un punto:
Definición:Concretamente se conoce como “la propiedad de una función de no tener interrupciones” pero formalmente hablado una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sinlevantar el lápiz del papel.
Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos"
También se puede definir que “una función F(x) es continua en un número real a si se satisfacenlas tres condiciones siguientes.
F está definida en un intervalo abierto que contiene a a
F(X) existe.
F(x) = F(a) “ calculo en geometrica analitica”

Continuidad de una función en un punto
Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto X0 en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple:
Si x0 espunto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x0 si y sólo si . Cuando x0 no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x)cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:
1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen ellímite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.
Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:


Parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) seaproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este...