Continuidad De Variable Real

Continuidad de una función real de variable real

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezbos@uoc.edu)

ESQUEMA DE CONTENIDOS___________________________________________ Cálculo de los límites laterales

Definición

Imagen del punto

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN en un punto

CONTINUIDAD DEUNA FUNCIÓN en todo su dominio

Discontinuidades

Evitables

No-evitables

Extensión continua de la función

Primera especie

Segunda especie

de salto finito

de salto infinito

límite no calculable

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Continuidad de una función real de variable real

INTRODUCCIÓN___________________

La aplicación más importante del cálculo de límites es la determinación de la continuidad de una función en un punto. Saber calcular límites permite determinar si una función es continua en un punto, es decir si al trazar dicha curva vamos a tener que levantar el lápiz del papel, llegando en ocasiones a tender a desplazarlo hacia el infinito, o si el transcurrir del lápiz encima de lacurva de la función va a ser continuado, sin interrupciones finitas o infinitas, es decir continuo. Además de saber averiguar si una función es continua en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente en qué puntos de su dominio, la función presenta posibles discontinuidades. Estos puntos deben ser examinados individualmente persiguiendo la determinación del tipo de discontinuidad.Si la discontinuidad es evitable, podremos definir una nueva función que no poseerá esta discontinuidad y, por lo tanto, será continua en dicho entorno o en toda la recta real si éste fuera el único punto de posible discontinuidad. Por el contrario, si la discontinuidad implica un salto finito o infinito de la función o la imposibilidad de efectuar el cálculo del límite, entonces, se trata de unadiscontinuidad no evitable. Por consiguiente en dicho punto, la función no tendrá derivada, por ejemplo. La inestimable ayuda de Mathcad nos va a permitir comprobar la posición y tipo de discontinuidades que presenta una función a partir de su representación gráfica.

OBJETIVOS DOCENTES ___
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Introducir el concepto de continuidad a partir del cálculode los límites laterales y del cálculo del valor de la función en dicho punto. Compaginar el estudio analítico de la continuidad de una función en un punto y en todo su dominio con la comprobación de dichos resultados mediante la representación gráfica con el Mathcad. Adquirir destreza en averiguar las posibles discontinuidades a partir de la expresión analítica de la función y de surepresentación gráfica con Mathcad.

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CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Puesto que la continuidad de una función real de variable real es una propiedad que emana del concepto y cálculo de límites de funciones reales, es imprescindible —previamente a la lectura de este Mathblock— el haber realizado un estudio detallado de los siguientes temas: • • Funciones reales de variablereal. Límites de funciones.

Asimismo también es muy aconsejable que se tenga un conocimiento mínimo del programa Mathcad, que incluya como calcular límites de funciones. Por lo tanto, recomendamos que trabajéis los Mathblocks: “Uso básico del Mathcad en Análisis (I): cálculo simbólico y analítico”, “Funciones de una variable” y “Límites de funciones”, antes de empezar con éste. Después de habertrabajado este Mathblock podéis abordar el de “Derivación“.

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Continuidad de una función real de variable real

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
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Continuidad de una función en un punto

Decimos que una función es continua en un punto x 0 cuando en dicho punto...