continuidad en puntos

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Una función f(x) es continua en el punto x=a si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1)
Existe el valor de la función para x=a

2)
Existe el límite dela función cuando x tiende a a.
3)
El valor del límite cuando x tiende a a es igual al valor de la función para x=a.

Si alguna de estas condiciones no se cumple, la función f(x) es discontinuaen x=a.
La representación gráfica de una función discontinua en un punto presenta una interrupción en dicho punto.

Ejemplos:
Estudiar la continuidad de la función en x=2
1º) Existe el valor dela función en el punto
2º) y ; por lo tanto
3ª) El valor del límite cuando x tiende a 2 es igual al valor de la función para x=2.













Por lo tanto, podemos decir que lafunción es continua en x=2.

Estudiar la continuidad de la función en x=3




La función no es continúa en el punto x=3, ya que no está definida para x=3. Por lo tanto no cumple la primeracondición.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES:

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.
La funciónque analizamos en el ejemplo anterior es continua en R − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES

Si alguna de las tres condiciones de continuidad no secumple, la función es discontinua en a.

Ejemplos de funciones discontinuas:

Ejemplo 1:







La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.


Ejemplo 2:





Lafunción es discontinua porque en x = 2 no tiene límite.
Ejemplo 3:







La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.


TIPOS DE DISCONTINUIDADExisten dos tipos de discontinuidades: evitables y esenciales.

Discontinuidades evitables:

1º) Existe el límite y NO está definida la función en el punto:

No existe y

2º) Existe el límite y...