Continuidad En R2

CAP´ ITULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. C´lculo de l´ a ımites. 3. Continuidad.

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1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL.

Muchos problemas geom´tricos y f´ e ısicos conducen a funciones de varias variables. Por ejemplo, el ´rea de un rect´ngulo viene dado por la funci´n a a o f (x, y) = xy, donde x es la base e y la altura, ladistancia de un punto del espacio P = (x, y, z) al origen corresponde a la funci´n f (x, y, z) = o x2 + y 2 + z 2 , etc. De ah´ que sea necesario extender los conceptos y la ı teor´ de funciones reales de variable real a funciones vectoriales de varias ıa variables. En general, una funci´n vectorial de m variables f : Rm → Rn definida o por f (x1 , . . . , xm ) = (y1 , . . . , yn ) se escribir´ comoun vector (f1 , . . . , fn ) de a funciones fi : Rm → R definidas por fi (x1 , . . . , xm ) = yi (i = 1, . . . , n). Destacaremos los casos particulares siguientes: Si n = 1, tenemos una funci´n real de m variables (que llamaremos campo escalar). o Si m = 1, tenemos una funci´n vectorial de una variable (o campo vectorial). o Ejemplos inmediatos de ambos casos son las rectas f : R → R3 en elespacio tridimensional, definidas por f (t) = (x0 , y0 , z0 ) + t(a, b, c), y los planos, que son funciones f : R2 → R definidas por f (x, y) = ax + by + c. Los conceptos b´sicos relativos a propiedades globales de estas funciones son a los siguientes: Dominio de f : → → D(f ) = {− = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm : ∃f (− ) ∈ Rn }. x x Rango o imagen de f : → → → → R(f ) = {− = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn : ∃− =(x1 , . . . , xm ) ∈ D(f ), f (− ) = − }. y x x y Decimos que una funci´n est´ acotada cuando su imagen es un cono a junto acotado. Gr´fica de f : a G(f ) = {(x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) ∈ Rm+n : (y1 , . . . , yn ) = f (x1 , . . . , xm )}. En el caso particular de funciones f : R2 → R, es importante destacar el concepto de curvas de nivel, que son los conjuntos de la forma Ck = {(x, y) ∈ D(f) : f (x, y) = k}, para valores k ∈ R, pues representan el conjunto de puntos del dominio cuya imagen toma el valor constante k. Como en este caso la gr´fica de la funci´n a o 56

es una superficie, las curvas de nivel corresponden a los conjuntos de puntos que est´n a la misma altura de dicha superficie; permiten ver las variaciones a de altitud en un dominio dado y en algunos casos hacerse unaidea de la propia superficie. Se definen an´logamente las superficies de nivel en el caso de funciones f : a R3 → R como los conjuntos Sk = {(x, y, z) ∈ D(f ) : f (x, y, z) = k}, k ∈ R.

PROBLEMA 2.1

Describir los conjuntos de nivel f (x1 , . . . , xn ) = k , para los valores de k indicados, de las siguientes funciones: (a) f (x, y) = x2 + y 2 , k = 0, 1, 2, 3. (b) f (x, y) =
x2 + y 2 , k = 0,1, 2, 3.

(c) f (x, y, z) = x2 + y 2 , k = 0, 1, 2. (d) f (x, y) = x2 − y 2 , k = −2, −1, 0, 1, 2. (e) f (x, y) = exy , k = e−2 , e−1 , 1, e, e2 .
√ (f) f (x, y) = cos(x + y), k = −1, 0, 1/2, 2/2, 1. Soluci´n o

(a) La ecuaci´n x2 +y 2 = k representa una circunferencia de centro el origen o √ y radio k. Las curvas de nivel indicadas son entonces las siguientes (para k = 0, la curva de nivel sereduce al punto (0, 0)):

Con esta informaci´n podemos deducir que la gr´fica tiene la siguiente o a forma (se trata de un paraboloide de revoluci´n): o 57

(b) Las ecuaciones x2 + y 2 = k tambi´n representan circunferencias de e centro el origen, pero de radio k, lo que hace que el crecimiento de dicho radio con respecto a k sea lineal. Las curvas de nivel son:

mientras que la superficiees ahora la de un cono:

(c) Como la funci´n es ahora de tres variables, las ecuaciones x2 + y 2 = k o son las superficies de nivel de la funci´n y representan cilindros cuyo o √ eje es el eje Z y el radio k (para k = 0 degenera en una recta). 58

(El cilindro exterior no est´ completo para mayor claridad en la ilusa traci´n.) o Observar que la gr´fica de la funci´n es ahora una regi´n del...