Continuidad d un punto

Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de lafunción:

Otra manera más simple:
Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo
si y sólo si . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función escontinua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiendehacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:* Existe f(x1):

* existe el límite por la izquierda:

* existe el límite por la derecha:

* El límite por la derecha, el límite por la izquierda y el valor de la funcióncoinciden:

Es decir: el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando,cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, talque .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f,no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tieneimágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

[editar] Continuidad lateral

Una función f es continua por la izquierda en el...