Continuidad Y Derivabilidad De PAU

EJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE PAU
Junio 2011:
Opción A
1. Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones
de la derivada donde exista:


f ( x) : 




1 + sen2 x, si x ≤ 0
x3 + 1, si 0 < x < 1
2
e x −1, si x ≥ 1

Opción B
2. Indicar, para la función f(x), sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, los valores de
x que correspondena sus máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos de
concavidad y convexidad, sabiendo que la función derivada tiene la siguiente gráfica:
(a = -1’33 y b = 3’33)

Septiembre 2011:
Opción A
3. Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones
de la derivada donde exista:

1 −2 x
, si x ≤ 0
 sen2 x + ⋅ e
3

x +1
f ( x) = 
+ Ln( x + 1), si 0 < x <2
 3

x2 − 2x ,
si x ≥ 2


4. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que
tenga un vértice en el origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje
OY y otro sobre la recta de ecuación 4x + 3y = 12.

1

Opción B
5. Representar la gráfica de una función f(x) que tenga las siguientes propiedades:
a)
b)
c)
d)
e)

Es continua en todoslos reales salvo en -4 y 0.
Tiene asíntotas verticales x = -4 y x = 0.
Para x → +∞, se cumple f(x) → 0.
Corta al eje OX solamente en un punto, que es de inflexión.
Su función derivada es negativa en (-∞, -6) y en (-4, 0), siendo positiva en (-6, -4)
y en (0, +∞).

Junio 2012:
Opción A

6. Dada la función

 3x 2 + sen2 x + 2, si x ≤ 0

f ( x) = 3 x + 2a ⋅ cos x, si 0 < x < π

3 x + b − 2, si π≤ x



a) Hallar los valores de a y b para que f(x) sea continua en todo R (explicar).
b) Estudiar la derivabilidad en todo R de la función f(x), con los valores a y b
obtenidos anteriormente.

Opción B
7. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones, justificando en cada caso si
la función es creciente o decreciente en el punto indicado:
a) f(x) = arcsen(2x) – tag(3x), en x=0.
2
b) g ( x) = e x − 4 + cos(πx) , en x = 2.

Septiembre 2012:
Opción A
8. Dada la función f ( x) =

2x 2 + 3
x2 − 4

a) Obtener su dominio y los cortes de su gráfica con los ejes de coordenadas
(explicar).
b) Hallar las asíntotas horizontales y verticales de su gráfica, justificándolas.
c) Determinar los intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y extremos
relativos de esa función.Justificar los resultados obtenidos.

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9. La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un cierto
proceso de 6 horas de duración, viene dada en función del tiempo t transcurrido es ese
proceso por la expresión:
T = 20 +

5t − 15
t 2 − 6t + 10

(con 0 ≤ t ≤ 6)

Determinar en qué momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en
qué momento alcanza sutemperatura mínima. Justificar las respuestas.

Opción B

10.
a) Dada la función f(x) = cos2(3x), hallar las ecuaciones de las rectas tangente y
normal a su gráfica en el punto de abscisa x = π /12 (explicar).
b) Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función g(x) = 2x3 –
3x2 – 12x + 5. Justificar los resultados obtenidos.

Junio 2013:
Opción A
11. Determinar los valores de a yde b para que la función f(x) sea derivable:
 eax ,

si x ≤ 0
2a + bsenx, si 0 < x

f ( x) = 

Opción B
12. Determina los valores de a, b y c sabiendo que la función f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene
extremos relativos en x =1 y x = -3, y que corta a su función derivada en x = 0.
Determinar asimismo la naturaleza de los extremos.
13. La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de unrectángulo, de forma que los
vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El
perímetro del rectángulo es de 100 metros. Calcular las longitudes de sus lados para que
el área del rombo inscrito sea máxima.

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Julio 2013:
Opción A
14. Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y = x 2 + 1 en su punto extremo.

Opción B
15. Dada la función:
( x + a) 2...