Continuidad Y Derivada

Continuidad de una función de dos
variables
Una función f de dos variables es continua en un punto
(x0 , y0) de una región abierta R si f (x0 , y0) es igual al
limite de f (x , y) cuando (x , y)tiene a (x0 , y0). Esto es si :

lim

f ( x, y )  f ( x0 , y0 )

( x , y )  ( x0 , y 0 )
Se dice que f es continua en la región R si es continua
en todos los puntos de R .

Ejercicio: Determina lacontinuidad de las siguientes
funciones en el origen.
a)

b)

c)

3x 2 y
f ( x, y )  2
2
x y
  x2  y2 2
  2

2
f ( x, y )  x  y



1

2

2

f ( x, y ) ln( x  y )

( x, y )  0, 0 
(x, y )  0, 0 

Propiedades de las funciones
continuas de dos variables
Si k es un número real y f, g son funciones continuas en
un punto (x0 , y0), las funciones siguientes son continuas
en (x0 ,y0).
1. Múltiplo escalar:

k f

2. Suma y diferencia:
3. Producto:

f g

4. Cociente:

f g

f g

si

g ( x 0 , y 0 ) 0

Continuidad de las funciones
compuestas
Si h es continua en (x0 , y0), y g escontinua en h(x0 , y0), la
función compuesta (gºh)(x , y)=g(h(x, y)) es continua en
(x0 , y0).

lim

( x , y )  ( x0 , y 0 )

g  h( x, y )  g  h( x0 , y 0 ) 

Continuidad de una función dedos
variables en una región R
a)

x y
f ( x, y ) 
xy

Puesto que las funciones racionales son continuas en
todos los puntos de su dominio, f es continua en todos los
puntos del plano xy excepto en larecta y=-x.
b)

f ( x, y ) 

2
4

x2  y2

Derivada parciales de una función
de dos variables
¿Cómo afecta a la función un cambio en una de sus
variables independientes?
¿Cómo hallar el ritmo decambio de una función f con
respecto a una de sus variables independientes?

El procedimiento se llama derivación parcial y el
resultado se llama derivada parcial

Derivada parciales de una función
dedos variables
Si z=f(x, y), las primeras derivadas parciales de f con
respecto a x e y son las funciones fx y fy definidas:

f ( x  x, y )  f ( x, y )
f x ( x, y )  lim
x  0
x
f ( x, y  y )...