Continuidad

CONTINUIDAD

Introducción
En cada uno de los siguientes casos indicar el valor de: [pic]

¿En cuales de los casos anteriores usted diría que f es continua en a? ¿Y en [pic]
Parece entonces razonable dar las siguientes definiciones.

Definición

Consideramos: f una función real
[pic]
Decimos que:1) f es continua en a [pic]
2) f es continua en a+ [pic]
3) f es continua en a- [pic]

Observaciones: Para poder decir que f es continua en a previamente debemos asegurarnos de que a sea un punto
interior al dominio de f; o sea que [pic]. Lo cual implica que necesariamente “exista lafunción en a y en sus “alrrededores”.

Con respecto a las definiciones 2) y 3) las exigencias pueden ser menores: Que [pic] para 2)
o que [pic] en el caso de la definición 3).

f es continua en a [pic] f es continua en [pic]

Nota: Si una función no es continua en el punto adiremos que es discontinua en dicho punto.

Nota: Consideramos [pic] Analicemos la continuidad de g en 1. Como[pic]g es discontinua en 1.
[pic]

Llamamos [pic] Estudiemos la continuidad de [pic] en 1.
[pic] es continua en 1 ( (1) los límites de g y [pic] soniguales pues las funciones son iguales
en un entorno reducido de centro 1 )

Tenemos pues dos funciones prácticamente iguales (solo difieren en 1 ) siendo una de ellas discontinua en 1 ( g ) y la otra [pic] continua en dicho punto. Gráficamente:

Consideramos ahora [pic]Analicemos la continuidad de h en 0.
h es discontinua en 0 pues [pic] Veamos si con h podemos realizar un procedimiento similar al hecho con g.

[pic]

Por lo tanto la discontinuidad que presenta g en 1 es “distinta” de la discontinuidad que presenta h en 0.En este caso no podemos definir [pic] que sea igual a h en todos los puntos salvo en 0 pero que sea continua en dicho punto. Gráficamente:En general si f es discontinua en a pero [pic] podemos definir [pic]
siendo esta última función continua en a. En este caso decimos que f presenta una discontinuidad evitable en a.
Gráficamente:

Si f discontinua en a pero [pic] el proceso descrito anteriormente (el de definir [pic]) no se puede realizar. En ese caso decimos que f presenta una discontinuidad no evitable en a.Ejercicio De las gráficas presentadas al comienzo del tema indicar en cuales se presenta una discontinuidad evitable y en cuales una no evitable.

Nota Puede realizarse una clasificación mas “fina” de discontinuidades ; pero preferimos no entrar en el tema. El lector interesado puede consultar por ejemplo el “Análisis Matemático” de “Rey Pastor-Pi Calleja-Trejo” Tomo 1 .

Nota Si unafunción está dada por una fórmula es muy probable que esta será el resultado de un número finito de sumas, productos, cocientes y composiciones de funciones elementales (potencial, exponencial, logarítmica, valor absoluto, constantes, trigonométricas) . Por lo tanto si conociéramos donde las funciones elementales son continuas y por otro lado supiésemos que ocurre al operar con funciones continuas;tendríamos elementos para decidir sin utilizar directamente la definición donde una función dada mediante una fórmula donde es continua y donde no.

Teorema

Las siguientes funciones son continuas en todos los puntos interiores a su dominio.

1) [pic] 2) [pic] [pic] 3) [pic]

4) [pic] 5) [pic] 6) [pic]...