continuidad

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Continuidad, límites
y asíntotas
Funciones

© Grupo Editorial Bruño, SL. Matemáticas de 1º BCT. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

Introducción
El estudio de la continuidad de una función se inicia desde el análisis de
la gráfica de la función. Este análisis, intuitivo y fácil, pero insuficiente para resolver todos los problemas, conduce a la necesidad de unaherramienta analítica que permita estudiar la continuidad de una función de
forma precisa. Esta herramienta es el concepto de límite.
Tan importante como el concepto de continuidad de una función es el
concepto de función discontinua y su clasificación. Por esta razón, el tema comienza analizando las funciones parte entera, parte decimal, la función signo, el valor absoluto de una función yfunciones definidas a trozos.
Estas funciones son muy utilizadas como ejemplos de funciones discontinuas y merece la pena estudiarlas en detalle.
Se profundiza, posteriormente, en el cálculo de límites de funciones polinómicas, racionales e irracionales para resolver algunas indeterminaciones. Como caso particular, se estudian los límites de las sucesiones.
Como aplicación del cálculo de límites, seestudia el comportamiento de
las funciones polinómicas en el + ∞ y en el – ∞, se calculan las asíntotas
de las funciones racionales y se estudia la posición de una curva respecto de sus asíntotas.

Organiza tus ideas
Funciones
tienen

pueden ser

límites

continuas
si lím f(x) = f(a)
x →a

pueden ser

determinados

indeterminados:
•

•

[]
[]
0
0

∞
∞

puedentener

discontinuas:
• evitable
• 1 ª especie
• 2 ª especie

asíntotas:
• verticales
• horizontales
• oblicuas

∞
• [∞ – ∞ ]
• [0 · ∞ ]
• [1 ∞ ]
∞
• [∞ 0 ]
• [0 0 ]

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Funciones

1. Funciones especiales
■ Piensa y calcula
Completa la siguiente tabla:
x
Parteentera de x

1,8

– 1,8

2,4

– 2,4

3,9

– 3,9

Dec (x)

Valor absoluto de x

– 0,3

Ent (x)

Parte decimal de x

0,3

|x|

1.1. Función parte entera, parte decimal y signo
a) Función parte entera
Se define la parte entera de un número como el mayor número entero que
es menor o igual que dicho número.
Ejemplo
Ent(2,6) = 2

Error habitual
Ent(– 2,6) = – 3
No es –2, ya que – 2 > – 2,6
Si se hace la representación gráfica del número decimal, se observa que su parte entera es el
primer número entero que está
a su izquierda.
– 2,6
–3

2,6

Ent(– 2,6) = – 3

La función parte entera de x asigna a cada x su parte entera. Se representa
por y = Ent(x), o bien, y = E(x)

b) Función parte decimal de x
Se define la parte decimal de un número como ladiferencia entre dicho número y su parte entera.

0 1 2

Ejemplo
Dec(2,6) = 2,6 – 2 = 0,6
Dec(–2,6) = – 2,6 – (– 3) = – 2,6 + 3 = 0,4
Observa que la parte decimal es siempre un número positivo o cero.
La función parte decimal de x asigna a cada x su parte decimal. Se representa por y = Dec(x), o bien, y = x – E(x)

c) Función signo de x
La función signo de x asigna a cada x positivo elnúmero 1, y a cada x negativo, el número –1. Se representa por y = Signo(x). Para x = 0 no está definida.
Ejemplo
Representa gráficamente las funciones y = Ent(x), y = Dec(x) e y = Signo(x)
Y

Y

Y

y = Ent(x)

y = Signo(x)

y = Dec(x)

X

X

X

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Tema 9.Continuidad, límites y asíntotas

1.2. Función definida por un valor absoluto
Para representar una función definida por un valor absoluto, se representa la
función prescindiendo del valor absoluto, y en los intervalos donde la función sea
negativa, se representa la parte simétrica respecto del eje X

⎧ f(x) si f(x) ≥ 0
|f(x)| = ⎨
⎩ – f(x) si f(x) < 0

Ejemplo
Representa la función y = |x2 –...