Continuidad

Continuidad
La idea intuitiva de función continua en un punto es bien sencilla.
Una función continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin levantar el lápizdel papel.
Matemáticamente la definición de función continua es un poco más compleja. Dice ası:
Definición: Una función f(x) es continua en un punto x = a si:
Dado ∈ > 0, existe δ > 0 tal que siempreque |x − a| < δ, entonces |f(x) − f(a)| < ∈
Dicho de otra forma, si nos acercamos al punto a, entonces las imágenes se acercan a la imagen de a, f(a).
Si f(x) no es continua en x = a se dice quef(x) es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en x = a.
Propiedad: Para que una función sea continua en un punto a es necesario y suficiente que:
a) Exista el valor de la función en elpunto, f(a).
b) Existan los límites laterales,
limx→a+f(x)
Y
limx→a-f(x)
, y sean finitos e iguales entre sí e iguales a f(a), es decir:
limx→a+f(x)=limx→a-f(x)=f(a)

Esta última propiedadproporciona una forma muy sencilla de saber si una función es continua o no en un punto.
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función:

2x +1 si x > 2
f (x) =
1x si x ≤ 2

Enprimer lugar, señalemos que la mayoría de las funciones que estudiamos son continuas en todos los puntos salvo en algunos.
¿Cuáles son los posibles puntos de discontinuidad de una función?
Aquellosen los que no está definida la función (anulan el denominador, etc.) y aquellos en los que cambia la definición de la función.
En todos los demás puntos las funciones son siempre continuas y no hacefalta analizarlos.
En nuestro caso, si nos fijamos en f(x) encontramos 2 posibles puntos de discontinuidad.
El primero es aquel en el que cambia la definición de la función, x =2. Además, como hayun denominador, que se anula para x =0, y además estamos en el tramo de función para valores menores que 2, el punto x =0 es otro posible punto de discontinuidad.
Analicemos si la función es...