continuidad

Universidad de La Frontera
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Adm.
ıa,
Departamento de Matem´tica y Estad´
a
ıstica

o
GUIA N− 5 (IME050)
CALCULO EN UNA VARIABLE

1. Usando la definici´n del´
o
ımite, demuestre que :
a) l´ c = c
ım

b) l´ ax + b = ax0 + b
ım

x→x0

x→x0

2. Suponga que l´ f (x) = 4 y l´ g(x) = −1 , entonces calcule:
ım
ım
x→1

x→1

f (x)
x→1 g(x) − 1a) l´ 2f (x) + 3g(x)
ım

c) l´
ım

b) l´ f (x) · (g(x))2
ım

d ) l´
ım

x→1

x→1

x→1

3. Si

f (x) =


 x−4


4. Si

f (x) + g(x)

−1 < x ≤ 2
Calcular

x2 − 6 2< x < 5

 3
 x −1


 x − 1 si x < 1
f (x) =
 sen 3x



si x > 1
x

Calcular

l´ f (x) , es continua f en 2?
ım

x→2

l´ f (x)
ım

x→1

Es posible definir f (1) demanera que f sea continua en x = 1?
5. Considere la funci´n:
o

 x2 − x − 6


, si x = 3
x−3
f (x) =



3
, si x = 3
Calcule l´ f (x)
ım
x→3

Decida si f es continua en el 36. Dada la funci´n:
o


 ax + 2 , si x ≤ 1
x2 + bx , si 1 < x ≤ 2
f (x) =

3x
, si 2 < x

determine los valores de a y b de manera que l´ f (x) y l´ f (x) existan y f sea
ım
ım
x→1x→2
continua en x = 1 y en x = 2.
7. Encuentre los valores de p y q de manera que la funci´n:
o

si x ≤ − π
 −2 sen x
2




p sen x + q si − π < x <
f (x) =
2





cosx
si π ≤ x
2
sea continua en − π y en
2
8.

π
2

π
2

a) Demuestre que f (x) = x − [x] no es continua en x0 ∈ Z.
x − [x] no es continua en x0 ∈ Z.

b) Demuestre que

g(x) =

c)Demuestre que
x0 ∈ Z.

h(x) = f (x) + g(x) = [x] +

x − [x] si es continua en

Que puedes comentar de estos resultados?.


1
,x0
x
De no ser cont´
ınua en x = 0 , redefina la funci´n h demanera que lo sea.
o
10. Sea n ∈ N. Pruebe que la funci´n
o
f (x) = nx + 4x + 3
tiene una ra´ real. Determine en funci´n de n un intervalo que contenga a esta
ız
o
ra´
ız.

11. Sea f...