continuidad



Continuidad

f(x)=x2
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valorde f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

  
f(x)=sgn x
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo dex) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valora significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto delímite...
Definición
Continuidad
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existirel limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))


   
f(x) = x2 si x 2 Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0
Sin embargo, si miramos la función para x próximosa 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".
Definición
Continuidad por la izquierda
Una funciónf(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) ylimx->a-f(x) = f(a).
Definición
Continuidad por la derecha
Una función f(x) escontinua por la derecha en el punto a si existe f(a) ylimx->a+f(x) = f(a).
La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha