Continuidad

2.10 Continuidad

2.10.1 Introducción

Se ha mencionado anteriormente la idea intuitiva de que una función continua es aquella cuya gráfica se puede trazar sin despegar "el lápiz". Es decir, si la gráfica es una sola línea "continua". En este cuaderno daremos una definición precisa de lo que es una "función continua".
    A continuación daremos ejemplos de funciones discontinuas en un puntoy analizaremos qué es lo que causa la discontinuidad. Esto nos llevará de una manera directa a la definición de continuidad en un número y posteriormente a la definición de continuidad en un intervalo.

2.10.2 Ejemplos

Observa cuidadosamente las siguientes gráficas de funciones que son discontinuas en un número x=a.

Observa como la función es discontinua en x=2, que es infinito, y quef(2) no está definida. | f(x)=(-2 + x)-2 f(2)= no definida |
 
    Ahora observa la siguiente gráfica.

El límite de f(x) cuando x1 por la izquierda es 2 El límite de f(x) cuando x1 por la derecha es 1Por lo tanto el límite de f(x) cuando x1 no existe. |  f(1)=2 |
 
    Observa que en este caso la discontinuidad ocurre porque los límites unilaterales no son iguales (la función no tiende almismo número por la derecha que por la izquierda), es decir, la función es discontinua por que el límite no existe.
    Veamos otro ejemplo:

La función f(x) es discontinua en x=2 y en x=-2.En x=-2 el límite no existe y f(-2) no está definida.En x=2 el límite sí existe pero f(2) no está definida. | La función ya simplificada es  |

    Por último, observa la siguiente gráfica:

Esta funciónes discontinua en x=4 aunque f(4) sí está definida y el límite sí existe.La razón de la discontinuidad es que Lim f(x) cuando x4 no es igual a f(4). | |

2.10.3 Definición de continuidad

Enseguida se da la definición de continuidad en un número.

Definición de continuidad:Se dice que una función es continua en un número a si: 1.  | f(a) está definida |
2.  | Lim f(x) existe yxa |
3.| Lim f(x)=f(a)xa |
  |

2.10.4 Continuidad en un intervalo

 Continuidad en un intervalo abierto:Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todo número del intervalo. |
 
    Veamos un ejemplo:

Es claro de la gráfica, que la función es continua en el intervalo abierto (-1,1), pero no es continua en el intervalo cerrado [-1,1] porque f(-1) y f(1) no estándefinidas. | |
  
 
Continuidad en un intervalo cerrado:Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en (a,b) y además, Lim f(x) =  | f(b) |
xb- | |
y Lim f(x) =  | f(a) |
xa+ | |
  |
  
 
    Veamos un ejemplo más: 
 
Como ves en la gráfica, la función es continua en el intervalo cerrado [-1, 1] porque es continua en (-1,1) y además Lim f(x) = | f(-1)= |0 |
x-1+ | | |
 y   Lim f(x)=  | f(1)=  | 0 |
x1- | | |
  | |

2.10.5 Teoremas sobre continuidad

Los siguientes teoremas nos facilitarán la tarea de determinar la continuidad de una función.
 
Teorema 10: Continuidad de una suma, un producto y un cociente.Si f y g son continuas en un número a, entonces cf (c es una constante),f+g, fg son continuas en a. Y si g(a) no es cero,entonces f/g es continua en a. |
 
    La definición de continuidad implica que f(x)=x es continua en todo número x, y el teorema anterior nos dice que entonces x2, x3, ... , xn (n entero positivo) son funciones continuas en todo número x (xn es un producto de n funciones continuas y=x).
    El teorema anterior también nos dice que una función polinomial es continua en (-,). 
   Consecuentemente, una función racional P(x)/Q(x) es continua en todo número real donde Q(x) no sea cero.

 
Teorema 11: Límite de una función compuesta.Si   Lim g(x)=  | L |
xa  | |
y si f(x) es continua en x=L, entonces: Lim f [g(x)] =  | f [ | Lim g(x)] =  | f(L) |
xa | | xa | |
  |

  En otras palabras, la composición de dos funciones continuas es también continua.

    Veamos un ejemplo de...